反函数

对一个定函数做逆运算的函数

数学里,反函数,也称为逆函数(英语:Inverse function),为对一个定函数做逆运算的函数

函数ƒ和它的反函数ƒ–1。由于ƒ把a映射到3,因此反函数ƒ–1把3映射回到a

定义与存在性

 为一函数,其定义域 陪域 。如果存在一函数 ,其定义域和陪域分别为 ,并对任意  、对任意  ,则称  的反函数,记之为 [注 1]

若一函数有反函数,便称此函数可逆。一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射,即同时为单射满射[1]

 为一实函数,还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。

与限制的关系

一部分函数尽管本身不可逆,但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。[2]例如

 

 并不是单射,因  均为 。但若取其到 上的限制,则这一限制为双射,并拥有反函数

 

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦余弦三角函数具有周期性,如

 

这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数,则需要限定其定义域,如反正弦函数通常定义为正弦函数到 上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域,称作其主值英语Principal value

性质

  • 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
  • 原函数与其反函数的函数图像关于函数 的图像对称。
  • 严格单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
  • 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如 

注释

  1. ^ 此种写法易与一个数的 混淆,尤其在三角函数中, 表示 平方,但 表示反正弦 处的值,而非 

参考资料

  1. ^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. (原始内容存档于2023-12-29). 
  2. ^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4. 

另见