函數圖形

在數學中,函數 f圖形(或圖像)指的是所有有序對(x, f(x))組成的集合。具體而言,如果x實數,則函數圖形在平面直角坐標系上呈現為一條曲線。如果函數自變數x為兩個實數組成的有序對(x1, x2),則圖形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))組成的集合,呈現為曲面(參見三維計算機圖形)。

函數 的圖形
sin(x)等函數的圖形

實函數的圖形擁有其唯一的圖像。而對於一般的函數,其圖形形式無法應用,圖形的正式定義取決於數學表述的需要,例如泛函分析中的閉圖像定理

函數圖形的概念由二元關係圖形推廣而來。需要注意的是,儘管一個函數與其圖像通常是一一對應的,但二者並不可混淆。兩個函數可能擁有相同的圖像,卻有不同的對應域。例如,對於下文提到的三次多項式,當其對應域為實數時函數即為滿射,而若其對應域為複數則不然。

通過垂線測試可以判斷一條曲線是否為一個函數,而通過水平線測試可以判斷函數是否為單射且是否存在反函數。如果反函數存在,則其圖像可以通過將原函數圖像以直線y=x為軸進行對稱得到。

樣例

單變量函數

一次函數

 
三個線性函數的圖形都是直線。紅色與藍色直線的斜率相同。 紅色與綠色直線的 y-截距相同

形如

 

的圖像為:

 

平面直角坐標系中,該圖像為一條直線。這是因為,該函數的導數為常數 

非線性函數

 
函數   的圖像

對於二次或更高次的多項式函數,或者其他的非線性函數,其圖像則會呈現為一條曲線。這是因為其導函數不是常數函數。

例如,三次函數

 

的圖像為

 

如果將這個圖像繪製在平面直角坐標系中,則會得到一條三次曲線(見右圖)。

雙變量函數

 
函數   的圖像

三角學中的函數

 

的圖像為

 

如果這個圖像繪製在了三維坐標系中,則會得到一個曲面(見圖)。

函數圖像繪製工具

 
TI-83繪圖計算器

參考文獻

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