解析容度

在複分析中，複平面的緊子集K的解析容度（analytic capacity）是一個標誌了$\mathbb {C} \setminus K$上的有界解析函數可以有「多大」的數。粗略地說，解析容度$\gamma (K)$測量了$\mathbb {C} \setminus K$上的有界解析函數所組成的空間的單位球的大小。

這個概念最早由阿爾福斯在1940年代研究有界解析函數的奇點的可去性時引入。

定義

緊集$K\subset \mathbb {C}$的解析容度定義為

$\gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|:f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K),\|f\|_{\infty }\leq 1,f(\infty )=0\}$

其中，${\mathcal {H}}^{\infty }(U)$表示有界解析函數$f:U\to \mathbb {C}$組成的集合。此外，

$f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{z(f(z)-f(\infty ))}$

$f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{f(z)}$

注意如果令$g(z)=f(1/z)$，則有$f'(\infty )=g'(0)$。但是，一般來說$f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }{f'(z)}$。

對任意集合$A\subset \mathbb {C}$，定義

$\gamma (A)=\sup _{K\subset A}{\gamma (K)}$

其中K取遍所有包含於A的緊集。

可去集與潘勒韋問題

設K是緊集，若對任意包含K的開集$\Omega$，集合$\Omega \setminus K$上的有界全純函數都可以解析延拓到整個$\Omega$上，則稱K是可去集。根據黎曼可去奇點定理，單點集都是可去的。這啟發保羅·潘勒韋於1880年提出了一個更一般的問題：「$\mathbb {C}$的哪些子集是可去的？」

容易看出，K是可去的若且唯若$\gamma (K)=0$。然而，解析容度是純複分析的概念，要得到更多的幾何特性描述還有許多工作要做。

阿爾福斯函數

對緊集$K\subset \mathbb {C}$，存在唯一的極值函數，即$f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K)$使得$\|f\|\leq 1,f(\infty )=0,f'(\infty )=\gamma (K)$。這個函數稱為K的阿爾福斯函數。

解析容度與豪斯多夫維數

用$\dim _{H}$表示豪斯多夫維數，${\mathcal {H}}^{1}$表示1維豪斯多夫測度。則${\mathcal {H}}^{1}(K)=0$蘊含$\gamma (K)=0$，而$\dim _{H}(K)>1$保證了$\gamma (K)>0$。然而，$\dim _{H}(K)=1$

與${\mathcal {H}}^{1}(K)>0$的情況要複雜得多。

長度大於0而解析容度等於0的例子

之前給出了緊集的1維豪斯多夫測度與解析容度的部分對應關係，據此可以猜想$\gamma (K)=0$蘊含${\mathcal {H}}^{1}(K)=0$。然而，這個猜想是錯的。A. G. Vitushkin首先給出了反例，J. Garnett又給出了簡單得多的例子。後者給出的構造如下：

設$K_{0}:=[0,1]\times [0,1]$是單位正方形。然後$K_{1}$是4個邊長1/4的正方形的並，這4個小正方形分別位於$K_{0}$的四個角。以此類推，$K_{n}$是$4^{n}$個邊長為$4^{-n}$的正方形（記做$Q_{n}^{j}$）的並，每個$Q_{n}^{j}$位於某個$Q_{n-1}^{k}$的一角。令K是所有$K_{n}$的交，則${\mathcal {H}}^{1}(K)={\sqrt {2}}$，但是$\gamma (K)=0$。

Vitushkin猜想

設$K\subset \mathbb {C}$是緊集，Vitushkin猜想敘述為

$\gamma (K)\iff \int _{0}^{\pi }{{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }{K})d\theta }=0$

其中$\operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta$表示在方向$\theta$上的正交投影。根據上面的結果，當$\dim _{H}(K)\neq 1$時，Vitushkin猜想為真。

Guy David於1998年證明了Vitushkin猜想在$\dim _{H}(K)=1$且${\mathcal {H}}^{1}(K)<\infty$的情況。2002年，Xavier Tolsa證明了解析容度是半可數可加的（countably semiadditive）。即，存在常數$C>0$使得對緊集$K=\bigcup _{i=1}^{\infty }{K_{i}}$（其中$K_{i}$是博雷爾集），$\gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }{\gamma (K_{i})}$

David與Tolsa的定理合起來能推導出，當K關於${\mathcal {H}}^{1}$是σ有限的時，Vitushkin猜想為真。可是，對於不是${\mathcal {H}}^{1}$σ有限的1維的K，這個猜想仍然有待解決。

參考資料

• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
• Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
• J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
• G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
• Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
• Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.