K-理論

在數學中，K-理論（K-theory）是多個領域使用的一個工具。在代數拓撲中，它是一種異常上同調，稱為拓撲K-理論；在代數與代數幾何中，稱之為代數K-理論；在算子代數中也有諸多應用。它導致了一類K-函子構造，K-函子包含了有用、卻難以計算的信息。

在物理學中，K-理論特別是扭曲K-理論出現在第二型弦理論，其中猜測它們可分類D-膜、拉蒙-拉蒙場以及廣義複流形上某些旋量。具體細節參見K-理論 (物理)。

早期歷史

這個課題最早由亞歷山大·格羅滕迪克1957年發現，名字取自德文「Klasse」，意為「分類」class，進而表述為格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理。格羅騰迪格需要在代數簇X的層上工作。不是直接在處理層，他給出了兩個構造。首先，他利用直和運算將層的交換么半群轉換成一個群$K(X)$通過取層的分類的形式和以及形式加法逆（這是得到給定函子左伴隨的明確方法）。在第二個構造中，他強加以與層擴張一致的額外關係，得到一個現在記作$G(X)$的群。這兩個構造都被稱為格羅滕迪克群；$K(X)$具有上同調表現而$G(X)$有同調表現。

如果$X$是一個光滑簇，兩個群是相同的。

在拓撲學中，我們對向量叢有類似的和構造。麥可·阿蒂亞與弗里德里希·希策布魯赫在1959年使用格羅騰迪格群構造來定義拓撲空間$X$的$K(X)$（兩個構造一致）。這是在代數拓撲中發現的第一個奇異上同調理論的基礎。它在指標定理的第二證明中起了巨大的作用。此外，這種途徑導向了C*-代數的非交換$K$-理論。

在1955年，讓-皮埃爾·塞爾已經用具有投射模向量叢的類似物來表述塞爾猜想，該猜想聲稱一個域上多項式環上的投射模是自由模；這個論斷是正確的，但直到20年後才解決（斯旺定理是這個類比的另一方面）。1959年，塞爾給出了環的格羅騰迪克群構造，用它來證明投射模是穩定自由的。這個應用是代數K理論之開端。

發展

隨後一個時期，出現了各種類型的「高階K-理論函子」定義。最後，兩種有用的等價定義由丹尼爾·奎倫在1969年與1972年用同倫理論給出。另一種變體也由Template:弗里德海姆·瓦爾德豪森為了研究「空間的代數K-理論」提出，這與偽同痕的研究有關。大多數現代高階K-理論研究與代數幾何和Template:主上同調有關。

帶有一個輔助的二次型的相應構造具有一般名字L-理論。它是割補理論的主要工具。

在弦理論中，拉蒙-拉蒙場強與穩定D-膜電荷的K-理論分類在1997年首次提出。

另見

• 上同調論列表
• K-理論 (物理)
• L-理論
• 博特周期性
• 拓撲K-理論
• Todd class

參考文獻

• Atiyah, Michael Francis, K-theory, Advanced Book Classics 2nd, Addison-Wesley, 1989, ISBN 978-0-201-09394-0, MR1043170 （阿蒂亞在哈佛的介紹性課程，基於D. W. Anderson的筆記出版。由定義向量叢開始，不需要多少高深數學。）
• Max Karoubi, K-theory, an introduction（1978）Springer-Verlag
• Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），（2003）
• K-theory. PlanetMath. 
• Examples of K-theory groups. PlanetMath. 
• Algebraic K-theory. PlanetMath. 
• Examples of algebraic K-theory groups. PlanetMath. 
• Fredholm module. PlanetMath. 
• K-homology. PlanetMath. 
• Max Karoubi's Page