二项式定理

二项式定理(英語:Binomial theorem)描述了二项式代数展开。根据该定理,可以将两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式,其中均为非负整数且。系数是依赖于的正整数。当某项的指数为0时,通常略去不写。例如:[1]

二项式系数出现在杨辉三角(帕斯卡三角)中。除边缘的数字外,其他每一个数都为其上方两数之和。

中的系数被称为二项式系数,记作(二者值相等)。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理[2]

历史

二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献,他在17世纪描述了这一现象[3]。但早在他之前,就曾有数学家进行类似的研究。例如,古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况[4][5]。公元前三世纪,印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力羅摩发现。在同一时期,波斯数学家卡拉吉英语Al-Karaji[6]和数学家兼诗人歐瑪爾·海亞姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪,中国数学家杨辉也得到了类似的结果[7]卡拉吉英语Al-Karaji数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明[6]艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数[8]

定理的陈述

根据此定理,可以将 的任意次幂展开成和的形式

 

其中每个  为一个称作二项式系数的特定正整数,其等於 。这个公式也称二项式公式二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作

 

后面的表达式只是将根据  的对称性得出的,通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。 二项式定理的一个变形是用 1 来代换 得到的,所以它只涉及一个变量。在这种形式中,公式写作

 

或者等价地

 

几何释义

 
对直到四次幂的二项式的可视化

对于正值  ,二项式定理,在 时是在几何上的明显事实,边为 的正方形,可以切割成1个边为 的正方形,1个边为 的正方形,和2个边为  的长方形。对于 ,定理陈述了边为 的立方体,可以切割成1个边为 的立方体,1个边为 的立方体,3个 长方体,和3个 长方体。

微积分中,此图解也给出导数 的几何证明[9]。设  ,将 解释为 无穷小量改变,则此图解将无穷小量改变,显示为 超立方体  

 

其中(针对 的)线性项的系数是 ,将公式代入采用差商导数定义并取极限,意味着忽略高阶项 和更高者,产生公式: 。若再进行积分,这对应于应用微积分基本定理,则得到卡瓦列里求积公式 

證明

 

 

假設二项展开式在   時成立。若 

 

組合方法

考慮 ,共7個括號相乘,從7個括號選出其中的4個括號中的 ,再從剩餘的3個括號中選出3個 相乘,便得一組 ,而這樣的選法共有 種,故總共有  ;其他各項同理。

同理, ,共 個括號相乘,從 個括號選出其中的 個括號中的 ,再從剩餘的 個括號中選出  相乘,便得一組 ,而這樣的選法共有 種,故總共有  ;其他各項同理。

不盡相異物排列方法

考慮 ,每一個括號可以出 或出 ,而最後要有4個 、3個 相乘,這形同 的「不盡相異物排列」,其方法數為 ,恰好等於 ;其他各項同理。

同理, ,每一個括號可以出 或出 ,而最後要有    相乘,這形同 的「不盡相異物排列」,其方法數為 ,恰好等於 ;其他各項同理。

一般形式的证明

通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式

 ,  。注意只有当 时上述两个函数才收敛

  • 首先证明  收敛于 。这里省略
  • 之后,易得 满足微分方程︰ 。用求导的一般方法就能得到这个结论,这里省略
  • 再证明  亦满足上述微分方程︰

 

 

因为

 

于是

 

因为  

 
 
 
 
  • 根据除法定则 
 
 

应用

牛顿以二项式定理作为基礎发明出了微积分[10] 。其在初等数学中应用主要在于近似、估计以及证明恒等式等。

证明组合恒等式

二项式定理给出的系数可以视为组合数   的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。

(1)证明 

可以考虑恒等式  。 展开等式左边得到:  。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到  。 比较两边幂次为   的项的系数可以得到:  。 令  ,并注意到   即可得到所要证明的结论。


(2)證明 

因為 

 ,代入上式,得

 

多倍角恒等式

复数中,二项式定理可以與棣莫弗公式結合,成為多倍角公式[11]。根據棣莫弗公式:

 

通過使用二项式定理,右邊的表達式可以擴展為

 

由棣莫弗公式,实部与虚部对应,能夠得出

 

即二倍角公式。同樣,因為

 

所以藉棣莫弗公式,能夠得出

 

整體而言,多倍角恒等式可以寫作

 

 

e级数

數學常數e的定義爲下列極限值:[12]

 

使用二项式定理能得出

 

 项之總和為

 

因為 时,右邊的表达式趋近1。因此

 

這表明 可以表示为[13][14]

 

推广

该定理可以推广到对任意实数次幂的展开,即所谓的牛顿广义二项式定理

 。其中 

多项式展开

对于多元形式的多项式展开,可以看做二项式定理的推广:[15][16]
 .

证明:


数学归纳法。对元数 做归纳:
 时,原式为二项式定理,成立。
假设对 元成立,则:

 

参见

参考文獻

  1. ^ Binomial Expansions - leeds uk (PDF). [2015-04-12]. (原始内容存档 (PDF)于2020-09-19). 
  2. ^ Roman, Steven "The Umbral Calculus", Dover Publications, 2005, ISBN 0-486-44129-3
  3. ^ Devlin, Keith, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books; 1 edition (2008), ISBN 978-0-465-00910-7, p. 24.
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Binomial Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-04-11]. (原始内容存档于2020-11-14) (英语). 
  5. ^ The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), pp. 147–157
  6. ^ 6.0 6.1 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji, MacTutor数学史档案 (英语) 
  7. ^ Landau, James A. Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle. Archives of Historia Matematica. 1999-05-08 [2007-04-13]. (原始内容 (mailing list email)存档于2021-02-24). 
  8. ^ Bourbaki: History of mathematics
  9. ^ Barth, Nils R. Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube. The American Mathematical Monthly. 2004, 111 (9): 811–813. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193. doi:10.2307/4145193, author's copy, further remarks and resources 
  10. ^ Błaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail; Sherry, David, Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking, Foundations of Science, 2012, arXiv:1202.4153 , doi:10.1007/s10699-012-9285-8 
  11. ^ Weisstein, Eric W. (编). Multiple-Angle Formulas. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-04-12]. (原始内容存档于2020-11-11) (英语). 
  12. ^ The Constant e - NDE/NDT Resource Center. [2015-04-12]. (原始内容存档于2020-11-11). 
  13. ^ Series - NTEC (PDF). [2015-04-12]. (原始内容存档 (PDF)于2020-09-23). 
  14. ^ Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
  15. ^ 多項式定理的新證明及其展開 - 佛山科学技术学院信息科学与数学系. [2015-04-11]. (原始内容存档于2017-04-13). 
  16. ^ Hazewinkel, Michiel (编), Multinomial coefficient, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

參考書目

  • Bag, Amulya Kumar. Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci. 1966, 1 (1): 68–74. 
  • Barth, Nils R. (November 2004). "Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193, author's copy,
  • Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren. (5) Binomial Coefficients. Concrete Mathematics 2nd. Addison Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857. 

外部链接