切比雪夫第一及第二函數的關係
切比雪夫第一及第二函數彼此相關,要驗證這點,可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式:
ψ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
k
log
p
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}
其中k 是使得
p
k
≤
x
<
p
k
+
1
{\displaystyle p^{k}\leq x<p^{k+1}}
的唯一整數,而k 的值可參見A206722 。一個更直接的關係如下:
ψ
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
ϑ
(
x
1
n
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}
注意的是和的後半段只有有限多個非零數值,而這是因為有下式之故:
ϑ
(
x
1
n
)
=
0
for
n
>
log
2
x
=
log
x
log
2
.
{\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}
切比雪夫第二函數是從1到n 所有數的最小公倍數 的自然對數:
lcm
(
1
,
2
,
…
,
n
)
=
e
ψ
(
n
)
.
{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}
對於n 而言,lcm(1, 2, ..., n ) 的值可參見A003418 。
以下定理 將
ψ
(
x
)
x
{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}
及
ϑ
(
x
)
x
{\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}
這兩個分數給聯繫起來。[3]
定理: 若
x
>
0
{\displaystyle x>0}
則有
0
≤
ψ
(
x
)
x
−
ϑ
(
x
)
x
≤
(
log
x
)
2
2
x
log
2
.
{\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}
注意:從此不等式 可推出
lim
x
→
∞
(
ψ
(
x
)
x
−
ϑ
(
x
)
x
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}
換句話說,若
ψ
(
x
)
/
x
{\displaystyle \psi (x)/x}
或
ϑ
(
x
)
/
x
{\displaystyle \vartheta (x)/x}
其中一個趨近某個極限 ,則另一個也是如此,也就是兩者的極限相等。
證明: 由於
ψ
(
x
)
=
∑
n
≤
log
2
x
ϑ
(
x
1
/
n
)
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}
,因此有
0
≤
ψ
(
x
)
−
ϑ
(
x
)
=
∑
2
≤
n
≤
log
2
x
ϑ
(
x
1
/
n
)
.
{\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}
而由
ϑ
(
x
)
{\displaystyle \vartheta (x)}
的定義,可得以下明顯的不等式:
ϑ
(
x
)
≤
∑
p
≤
x
log
x
≤
x
log
x
{\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}
因此有
0
≤
ψ
(
x
)
−
ϑ
(
x
)
≤
∑
2
≤
n
≤
log
2
x
x
1
/
n
log
(
x
1
/
n
)
≤
(
log
2
x
)
x
log
x
=
log
x
log
2
x
2
log
x
=
x
(
log
x
)
2
2
log
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}
最後,將此不等式兩邊除以
x
{\displaystyle x}
,即可得定理的不等式。
非病態關係及上下界
對於切比雪夫函數,有以下已知的界線。其中p k 是第k 個質數,也就是p 1 = 2 、p 2 = 3 等等:[1] [2]
ϑ
(
p
k
)
≥
k
(
log
k
+
log
log
k
−
1
+
log
log
k
−
2.050735
log
k
)
for
k
≥
10
11
,
ϑ
(
p
k
)
≤
k
(
log
k
+
log
log
k
−
1
+
log
log
k
−
2
log
k
)
for
k
≥
198
,
|
ϑ
(
x
)
−
x
|
≤
0.006788
x
log
x
for
x
≥
10
544
111
,
|
ψ
(
x
)
−
x
|
≤
0.006409
x
log
x
for
x
≥
e
22
,
0.9999
x
<
ψ
(
x
)
−
ϑ
(
x
)
<
1.00007
x
+
1.78
x
3
for
x
≥
121.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}
此外,若黎曼猜想成立,則對於任意的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
而言,有以下關係式:
|
ϑ
(
x
)
−
x
|
=
O
(
x
1
2
+
ε
)
|
ψ
(
x
)
−
x
|
=
O
(
x
1
2
+
ε
)
{\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}
對任意的
x
>
0
{\displaystyle x>0}
而言,切比雪夫第一函數
ϑ
(
x
)
{\displaystyle \vartheta (x)}
及第二函數
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
有以下的上界:[4] [3]
ϑ
(
x
)
<
1.000028
x
ψ
(
x
)
<
1.03883
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}
對於1.03883這常數的解釋,可見A206431 的說明。
等式
1895年,漢斯·馮·曼戈爾特 證明了[4]
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
有以下作為黎曼ζ函數 非平凡零點和的解析解 :
ψ
0
(
x
)
=
x
−
∑
ρ
x
ρ
ρ
−
ζ
′
(
0
)
ζ
(
0
)
−
1
2
log
(
1
−
x
−
2
)
.
{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}
其中ζ′ (0)/ ζ (0) 的數值為log(2π) 、ρ 遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點,而ψ 0 是一個與ψ 類似的函數,但差別是其在跳躍不連續點 (質數的冪)的取值為其左邊與右邊值的中間:
ψ
0
(
x
)
=
1
2
(
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
+
∑
n
<
x
Λ
(
n
)
)
=
{
ψ
(
x
)
−
1
2
Λ
(
x
)
x
=
2
,
3
,
4
,
5
,
7
,
8
,
9
,
11
,
13
,
16
,
…
ψ
(
x
)
otherwise.
{\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
就自然對數 的泰勒展開式 而言,解析解的最後一項可理解為xω / ω 對黎曼ζ函數平凡零點ω = −2, −4, −6, ... 的求和。也就是說,
∑
k
=
1
∞
x
−
2
k
−
2
k
=
1
2
log
(
1
−
x
−
2
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}
類似地,此公式第一項x = x 1 / 1 對應到黎曼ζ函數在1的單純極點 。這部分作為極點而非零點的事實,說明了項的變號。
性質
一個由埃哈德·施密特 證明的結果指稱,對於某個特定的正常數K ,存在有無限多個正整數 x 使得
ψ
(
x
)
−
x
<
−
K
x
{\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}
同時有無限多個正整數x 使得
ψ
(
x
)
−
x
>
K
x
.
{\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}
[5] [6]
使用小o 符號 ,可將上式重述為
ψ
(
x
)
−
x
≠
o
(
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}
哈代 與李特爾伍德 [7] 證明了一個更強的結果,表述如下:
ψ
(
x
)
−
x
≠
o
(
x
log
log
log
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}
也就是說有無限多的正整數x ,使得
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
與x 之間的差的絕對值超過
x
log
log
log
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}\,\log \log \log x}
。
與質數階乘的關係
切比雪夫第一函數也是x 的質數階乘 x # 的對數:
ϑ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
log
p
=
log
∏
p
≤
x
p
=
log
(
x
#
)
.
{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}
這說明了質數階乘x # 非病態地等於e (1 + o (1))x ,其中o 是小o 符號(見大O符號 一文的說明),而這點與質數定理共同確立了p n # 的非病態行為。
與質數計數函數間的關係
切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數 發生關係。定義
Π
(
x
)
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
log
n
.
{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}
那麼有
Π
(
x
)
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
∫
n
x
d
t
t
log
2
t
+
1
log
x
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
=
∫
2
x
ψ
(
t
)
d
t
t
log
2
t
+
ψ
(
x
)
log
x
.
{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}
從Π 到質數計數函數 π 間的轉換可由下式表示:
Π
(
x
)
=
π
(
x
)
+
1
2
π
(
x
)
+
1
3
π
(
x
3
)
+
⋯
{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }
由於很明顯地,有π (x ) ≤ x 之故,因此為了估計的目的,最後的關係式可重述如下:
π
(
x
)
=
Π
(
x
)
+
O
(
x
)
.
{\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}
黎曼猜想
黎曼猜想 指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為1 / 2 。在這種狀況下,有|x ρ | = √x ,且可證明說
∑
ρ
x
ρ
ρ
=
O
(
x
log
2
x
)
.
{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}
由上式可推得
π
(
x
)
=
li
(
x
)
+
O
(
x
log
x
)
.
{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}
平滑化函數
平滑化切比雪夫函數 定義如下:
ψ
1
(
x
)
=
∫
0
x
ψ
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}
顯然有
ψ
1
(
x
)
∼
x
2
2
.
{\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}
參考資料
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額外補充
外部連結