切比雪夫函数

数学上,切比雪夫函数(Chebyshev Function)可指一个标量化函数(切比雪夫加权标量化函数),或两个彼此相关的函数的其中之一。

切比雪夫第二函数x < 50时的图像

切比雪夫第一函数(First Chebyshev Function)在文献中一般记做,其形式如下:

其中自然对数,而切比雪夫第一函数就是所有小于等于x的质数p的自然对数的总和。

切比雪夫第二函数(Second Chebyshev Function)在文献中一般记做,其定义类似,为所有小于等于x的质数p的幂的自然对数的总和,而其形式如下:

其中冯·曼戈尔特函数。切比雪夫函数,尤其切比雪夫第二函数,经常出现于与质数相关的数学证明中,而这是因为这些函数比质数计数函数还容易处理之故。可见下等式一节说明。

切比雪夫第一及第二函数都与x呈现非病态关系,而这点等价于质数定理

除了上述的切比雪夫第一及第二函数外,还有个与上述无关无关的切比雪夫加权标量化函数(Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function)或切比雪夫效用函数(Chebyshev utility function),其形式如下:

[1]

借由最小化这方程式不同的数值,可得到帕累托前沿英语Pareto front的每个点,甚至是非凸性的部分。[1]很多时候,要最小化的不是,而是在给定标量的状况下的数值,而在这种状况下有[2]

这三个函数皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫为名,唯本文的主题是数论上的切比雪夫第一及第二函数,切比雪夫加权标量化函数与这两函数无关,也不会出现在接下来的讨论中。

切比雪夫第一及第二函数的关系

切比雪夫第一及第二函数彼此相关,要验证这点,可先将切比雪夫第二函数写成如下形式:

 

其中k是使得 的唯一整数,而k的值可参见A206722。一个更直接的关系如下:

 

注意的是和的后半段只有有限多个非零数值,而这是因为有下式之故:

 

切比雪夫第二函数是从1到n所有数的最小公倍数的自然对数:

 

对于n而言,lcm(1, 2, ..., n)的值可参见A003418

以下定理  这两个分数给联系起来。[3]

定理: 则有

 

注意:从此不等式可推出

 

换句话说,若  其中一个趋近某个极限,则另一个也是如此,也就是两者的极限相等。

证明:由于 ,因此有

 

而由 的定义,可得以下明显的不等式:

 

因此有

 

最后,将此不等式两边除以 ,即可得定理的不等式。

非病态关系及上下界

对于切比雪夫函数,有以下已知的界线。其中pk是第k个质数,也就是p1 = 2p2 = 3等等:[1][2]

 

此外,若黎曼猜想成立,则对于任意的 而言,有以下关系式:

 

对任意的 而言,切比雪夫第一函数 及第二函数 有以下的上界:[4] [3]

 

对于1.03883这常数的解释,可见A206431的说明。

等式

1895年,汉斯·冯·曼戈尔特证明了[4] 有以下作为黎曼ζ函数非平凡零点和的解析解英语Explicit_formulae_(L-function)

 

其中ζ(0)/ζ (0)的数值为log(2π)ρ遍历黎曼ζ函数的所有非平凡零点,而ψ0是一个与ψ类似的函数,但差别是其在跳跃不连续点(质数的幂)的取值为其左边与右边值的中间:

 

自然对数泰勒展开式而言,解析解的最后一项可理解为xω/ω对黎曼ζ函数平凡零点ω = −2, −4, −6, ...的求和。也就是说,

 

类似地,此公式第一项x = x1/1对应到黎曼ζ函数在1的单纯极点。这部分作为极点而非零点的事实,说明了项的变号。

性质

一个由埃哈德·施密特证明的结果指称,对于某个特定的正常数K,存在有无限多个正整数x使得

 

同时有无限多个正整数x使得

 [5][6]

使用o符号,可将上式重述为

 

哈代李特尔伍德[7]证明了一个更强的结果,表述如下:

 

也就是说有无限多的正整数x,使得 x之间的差的绝对值超过 

与质数阶乘的关系

切比雪夫第一函数也是x质数阶乘x #的对数:

 

这说明了质数阶乘x #非病态地等于e(1  + o(1))x,其中o是小o符号(见大O符号一文的说明),而这点与质数定理共同确立了pn #的非病态行为。

与质数计数函数间的关系

切比雪夫函数可透过下式与与质数计数函数发生关系。定义

 

那么有

 

Π质数计数函数π间的转换可由下式表示:

 

由于很明显地,有π (x) ≤ x之故,因此为了估计的目的,最后的关系式可重述如下:

 

黎曼猜想

黎曼猜想指称说黎曼ζ函数任意的非显著零点的实部的值为1/2。在这种状况下,有|xρ| = x,且可证明说

 

由上式可推得

 

平滑化函数

平滑化切比雪夫函数定义如下:

 

显然有 

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Joshua Knowles. Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures (PDF). The University of Manchester: 34. 2 May 2014 [2023-12-07]. (原始内容存档 (PDF)于2022-12-09). 
  2. ^ Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization (PDF). Expert Systems with Applications (Delft University of Technology). 2018. Page 6 equation (2) [2023-12-07]. doi:10.1016/j.eswa.2017.09.051. (原始内容存档 (PDF)于2024-04-16). 
  3. ^ Apostol, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer. 2010: 75–76. 
  4. ^ Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell. Approximate formulas for some functions of prime numbers.. Illinois J. Math. 1962, 6: 64–94 [2023-12-07]. (原始内容存档于2016-08-18). 
  • ^ Pierre Dusart英语Pierre Dusart, "Estimates of some functions over primes without R.H.".
  • ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, pk", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(log k + log log k − 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
  • ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
  • ^ G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
  • ^ Davenport, Harold英语Harold Davenport (2000). 可见于《Multiplicative Number Theory页面存档备份,存于互联网档案馆》一书。 Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.

额外补充

外部链接