廣義積分,又称为反常积分、异常积分(英語:Improper integral ),是对普通定积分的推廣。
广义积分可以分成兩類,第一類又稱為無窮積分,指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分,指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。
第一類反常積分
定義
第一類反常積分是無窮積分,指積分區間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的积分。數學定義如下:
设函数 在 上連續且可積。定義無窮積分:
- 。
类似的,设函数 在 上連續且可積。定義無窮積分:
- 。
当上述极限存在时,称該积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散。
例子如下:
- ;
- ,即發散;
- ,振動發散。
推廣定義
第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。
设函数 在 上連續且可積。定義無窮積分:
- 。
或者取區間上任意一點 ,分拆寫成:
- 。
當上述極限同時存在時,稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時,稱該積分發散。
例子如下:
- ;
- ,即發散。
與柯西主值的聯繫
在無窮積分的推廣定義中,兩個極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假設兩個極限的收斂速度相同。
设函数 在 上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值:
- 。
若在相同收斂速度下,兩者可以互相抵消,則該積分的柯西主值存在。舉例來說:
- 。
根據定義,若無窮積分收斂,則其柯西主值收斂,且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂,該積分未必收斂。
第二類反常積分
定義
第二類反常積分是瑕積分,指積分區間的上限或下限是被積函數的不連續點。數學定義如下:
設函數 在 上連續且可積,但在點 不連續。定義瑕積分:
- 。
類似的,設函數 在 上連續且可積,但在點 不連續。定義瑕積分:
- 。
當上述極限存在時,稱該積分收斂。當上述極限不存在時,稱該積分發散。
例子如下:
- ;
- ,即發散。
推廣定義
第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點,或上限及下限之間含有不連續點的積分。
設函數 在 上連續且可積,但在點 及 不連續。定義瑕積分:
- 。
或者取區間上任意一點 ,分拆寫成:
- 。
設函數 在 及 上連續且可積,但在點 不連續。定義瑕積分:
- 。
當上述極限同時存在時,稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時,稱該積分發散。
例子如下:
- ;
- ,即發散。
與柯西主值的聯繫
在瑕積分的推廣定義中,兩個極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假設兩個極限的收斂速度相同。
設函數 在 上連續且可積,但在點 及 不連續。定義瑕積分的柯西主值:
- ;
設函數 在 及 上連續且可積,但在點 不連續。定義瑕積分的柯西主值:
-
若在相同收斂速度下,兩者可以互相抵消,則該積分的柯西主值存在。舉例來說:
- 。
根據定義,若瑕積分收斂,則其柯西主值收斂,且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂,該積分未必收斂。
参考文献
参见