广义积分,又称为反常积分、异常积分(英语:Improper integral ),是对普通定积分的推广。
广义积分可以分成两类,第一类又称为无穷积分,指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为反常积分,指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。
第一类反常积分
第一类反常积分:上限或下限为无限的积分。
定义
第一类反常积分是无穷积分,指积分区间的上限或下限中含有无穷 ∞ 的积分。数学定义如下:
设函数 在 上连续且可积。定义无穷积分:
- 。
类似的,设函数 在 上连续且可积。定义无穷积分:
- 。
当上述极限存在时,称该积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散。
例子如下:
- ;
- ,即发散;
- ,振动发散。
推广定义
第一类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为无穷 ∞ 的积分。
设函数 在 上连续且可积。定义无穷积分:
- 。
或者取区间上任意一点 ,分拆写成:
- 。
当上述极限同时存在时,称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时,称该积分发散。
例子如下:
- ;
- ,即发散。
与柯西主值的联系
在无穷积分的推广定义中,两个极限须分别处理,即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同。
设函数 在 上连续且可积。定义无穷积分的柯西主值:
- 。
若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。举例来说:
- 。
根据定义,若无穷积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。
第二类反常积分
第二类反常积分:被积函数的区间中含有不连续点。
定义
第二类反常积分是反常积分,指积分区间的上限或下限是被积函数的不连续点。数学定义如下:
设函数 在 上连续且可积,但在点 不连续。定义反常积分:
- 。
类似的,设函数 在 上连续且可积,但在点 不连续。定义反常积分:
- 。
当上述极限存在时,称该积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散。
例子如下:
- ;
- ,即发散。
推广定义
第二类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为不连续点,或上限及下限之间含有不连续点的积分。
设函数 在 上连续且可积,但在点 及 不连续。定义反常积分:
- 。
或者取区间上任意一点 ,分拆写成:
- 。
设函数 在 及 上连续且可积,但在点 不连续。定义反常积分:
- 。
当上述极限同时存在时,称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时,称该积分发散。
例子如下:
- ;
- ,即发散。
与柯西主值的联系
在反常积分的推广定义中,两个极限须分别处理,即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同。
设函数 在 上连续且可积,但在点 及 不连续。定义反常积分的柯西主值:
- ;
设函数 在 及 上连续且可积,但在点 不连续。定义反常积分的柯西主值:
-
若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。举例来说:
- 。
根据定义,若反常积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但反常积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。
参考文献
参见