史拉斯基定理
敘述
設 為隨機純量、向量或矩陣序列。若 依分佈收斂至随机元素 ,且 依概率收斂至常數 ,則
- 若c可逆,
其中 表示依分佈收斂。
說明
- 趨向於常數的條件不能省略。假如允許趨向於非退化的隨機元,則定理不再成立。例如,設 , ,則對所有 ,皆有和 。再者, ,但 並不依分佈收斂至 ,其中 , , 和 獨立。[3]
- 若將定理中,所有「依分佈收斂」改成「依概率收斂」,則結論仍然成立。
證明
引用以下引理:若 依分佈收斂至 ,且 依概率收斂至常數 ,則聯合向量 依分佈收斂到 。[4]
現對上述依分佈的收斂使用連續映射定理。由 , , 定義的函數 皆為連續函數(為使 連續,要求 可逆),故由連續映射定理,史拉斯基定理成立。
參見
註
- ^ 在Gut, Allan. Probability: a graduate course. Springer-Verlag. 2005. ISBN 0-387-22833-0.,p.249的評注11.1中,此定理稱為克拉梅爾定理。
參考資料
- ^ Goldberger, Arthur S. Econometric Theory. New York: Wiley. 1964: 117–120 (英语).
- ^ Slutsky, E. Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte. Metron. 1925, 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03 (德语).
- ^ Zeng, Donglin. Large Sample Theory of Random Variables (lecture slides) (PDF). Advanced Probability and Statistical Inference I (BIOS 760). University of North Carolina at Chapel Hill. Slide 59. Fall 2018 [2021-07-31]. (原始内容存档 (PDF)于2013-02-03) (英语).
- ^ van der Vaart, Aad W. Asymptotic statistics. New York: Cambridge University Press. 1998. ISBN 978-0-521-49603-2 (英语).