斯卢茨基定理

在概率论，斯卢茨基定理将实数列极限的若干代数性质推广到随机变量序列。

定理得名自尤金·斯卢茨基。斯卢茨基定理有时归功于哈拉尔德·克拉梅尔。

叙述

设$(X_{n}),(Y_{n})$为随机标量、向量或矩阵序列。若$(X_{n})$依分布收敛至随机元素$X$，且$(Y_{n})$依概率收敛至常数$c$，则

• $(X_{n}+Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X+c;$
• $(X_{n}Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ Xc;$
• $(X_{n}/Y_{n})\ \xrightarrow {d} \ X/c,$   若c可逆，

其中${\xrightarrow {d}}$表示依分布收敛。

说明

1. $(Y_{n})$趋向于常数的条件不能省略。假如允许趋向于非退化的随机元，则定理不再成立。例如，设$X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)$，$Y_{n}=-X_{n}$，则对所有$n$，皆有和$X_{n}+Y_{n}=0$。再者，$Y_{n}{\xrightarrow {d}}{\rm {Uniform}}(-1,0)$，但$X_{n}+Y_{n}$并不依分布收敛至$X+Y$，其中$X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)$，$Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)$，$X$和$Y$独立。
2. 若将定理中，所有“依分布收敛”改成“依概率收敛”，则结论仍然成立。

证明

引用以下引理：若$(X_{n})$依分布收敛至$X$，且$(Y_{n})$依概率收敛至常数$c$，则联合向量$(X_{n},Y_{n})$依分布收敛到$(X,c)$。

现对上述依分布的收敛使用连续映射定理。由$f(x,y)=x+y$，$g(x,y)=xy$，$h(x,y)=xy^{-1}$定义的函数$f,g,h$皆为连续函数（为使$h$连续，要求$y$可逆），故由连续映射定理，斯卢茨基定理成立。

参见

• 随机变量的收敛