同胚
(重定向自同胚映射)
在拓扑学中,同胚(英語:Homeomorphism)是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif/220px-Mug_and_Torus_morph.gif)
拓扑空间是一个几何物体,同胚就是把物体连续延展和弯曲,使其成为一个新的物体。因此,正方形和圆是同胚的,但球面和环面就不是。有一个笑话是说,拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈,这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状(见图)。
定义
如果两个拓扑空间{X,TX}和{Y,TY}之间的函数f : X → Y具有下列性质:
则称{X,TX}和{Y,TY}同胚,它满足以上三个性质的函数有时称为双连续。自同胚就是从一个拓扑空间到它本身的同胚。同胚形成了所有拓扑空间的类上的等价关系。所得到的等价类称为同胚类。
例子
- 设 为一个有单位的交换环,并设 为 的乘法子集。那么Spec 与 同胚。
- 当 时, 不与 同胚。
- 一个连续和双射但不是同胚的函数的例子,是把半开区间 缠绕到圆上的映射。在这个情况中,逆映射虽然存在,但不是连续的。
性质
- 两个同胚的空间具有相同的拓扑性质。例如,如果其中一个是紧空间,那么另外一个也是紧空间;如果其中一个是连通空间,那么另外一个也是连通空间,等等。然而,这不能推广到通过度量所定义的性质;如果两个度量空间是同胚的,那么仍然有可能其中一个是完备的,而另外一个不是。
- 每一个 的自同胚都可以延伸到整个圆盘 的自同胚。