哈恩-巴拿赫定理

在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年代後期独立证明了这个定理。

表述

定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量體 $\mathbb {K}$ （实数域或复数域）上的一个向量空间 $V$ ，一个函数 ${\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R}$ 称为次线性的，如果：

{\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad \forall a,b\in \mathbb {K} .

可以很容易证明， $V$ 上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。

哈恩－巴拿赫定理说明，如果 ${\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个次线性函数， $\varphi :U\rightarrow \mathbb {K}$ 是 $V$ 的子空间 $U$ 上的一个线性泛函，满足：

|\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U

那么存在φ到整个空间 $V$ 的一个线性扩张 $\psi :V\rightarrow \mathbb {K}$ ，也就是说，存在一个线性泛函ψ，使得：

\psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U

以及：

|\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.

扩张ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法：在无穷维空间 $V$ 的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。

我们可以把 ${\mathcal {N}}$ 的次线性条件稍微减弱，只需要：

{\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in \mathbb {R}

根据（Reed and Simon, 1980）。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。

重要的结果

这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”：

如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是闭的），且φ : U → K是连续和线性的，那么存在φ的一个扩张ψ : V → K，也是连续和线性的，且范数与φ相同（关于线性映射的范数的讨论，参见巴拿赫空间）。也就是说，在赋范向量空间的范畴中，空间 $\mathbb {K}$ 是一个内射对象。
如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是闭的），且z是V的一个元素，不在U的闭包内，那么存在一个连续线性映射ψ : V → K，对于U内的所有x都满足ψ(x) = 0，ψ(z) = 1，且||ψ|| = 1/dist(z,U)。

哈恩-巴拿赫分离定理

哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式，称为哈恩-巴拿赫分离定理。^[1]^[2]它在凸几何中有许多用途。^[3]

定理：设 $V$ 为 $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 上的一个拓扑向量空间， $A$ 和 $B$ 是 $V$ 的非空凸子集。假设 $A\cap B=\varnothing$ 。那么：

如果 $A$ 是开集，那么存在一个连续线性映射 $\lambda \colon V\to \mathbb {K}$ 和 $t\in \mathbb {R}$ ，使得对于所有的 $a\in A$ 和 $b\in B$ ，都有 $\operatorname {Re} \,\lambda (a)<t\leq \operatorname {Re} \,\lambda (b)$ 。
如果 $V$ 是局部凸的， $A$ 是紧集，且 $B$ 是闭集，那么存在一个连续线性映射 $\lambda \colon V\to \mathbb {K}$ 和 $s,t\in \mathbb {R}$ ，使得对于所有的 $a\in A$ 和 $b\in B$ ，都有 $\operatorname {Re} \,\lambda (a)<t<s<\operatorname {Re} \,\lambda (b)$ 。

与选择公理的关系

前面已经提到，从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱，但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反过来则不行）。实际上，哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。^[4]对于可分巴拿赫空间，Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL₀——一个二阶算术的弱子系统推出。^[5]

参见

注释

^ Klaus Thomsen, 哈恩-巴拿赫分离定理（页面存档备份，存于互联网档案馆），Aarhus University, 高等分析讲座（页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ Gabriel Nagy, 实分析（页面存档备份，存于互联网档案馆）讲座（页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.
^ D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung, The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set （页面存档备份，存于互联网档案馆），"Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), p. 13-19.
^ D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144. Source of citation （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

参考文献

Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) Pages 193-211.

Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.

泛函分析中的定理

阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理

[1] Klaus Thomsen, 哈恩-巴拿赫分离定理（页面存档备份，存于互联网档案馆），Aarhus University, 高等分析讲座（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[2] Gabriel Nagy, 实分析（页面存档备份，存于互联网档案馆）讲座（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[3] R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.

[4] D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung, The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set （页面存档备份，存于互联网档案馆），"Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), p. 13-19.

[5] D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144. Source of citation （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

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