敘述
設
- 是實希爾伯特空間,其內積記作 ,導出範數 ,
- 是雙線性型,使得
- 在 上連續:
- ,
- 在 上強制(有稱為 -橢圓性):
- ,
- 是 上的連續線性型。
那麼存在唯一的 ,使得對所有 都有 :
- 。
而且如果 是對稱的,那麼 是 中唯一的元素,使得以下泛函取最小值 , 對所有 ,即:
- 。
證明
一般情形
套用里斯表示定理到連續線性型上,可知存在唯一的 ,使得 對任意 成立。
對所有 ,映射 是 上連續線性型,因此同樣可知存在唯一的 ,使得 對任意 成立。易知算子 是一個 上連續線性自同態。由此可把 表示成如下等價形式:
-
要證明此命題,只要證得 是從 到 的雙射。首先證明它是單射,再證它是滿射。
從 的強制性,使用柯西-施瓦茨不等式,得到對任何
-
從而知對任何
- (*)。
這證明了 是單射。
要證明滿射,考慮算子 在 內的像 。
不等式(*)表示,如 是柯西序列,那麼 是 內的柯西序列。由 的完備性, 收斂至 。因 連續,得出 收斂至 。
因此為 中的閉子空間,由投影定理可知 。
再設元素 ,從定義有 ,因此
-
故得 。所以 為 ,證得 是滿射。
自同態 是雙射,故在 內存在唯一的 使得 ,且可以由 得出。
附注
不用求出 ,有其範數的上界估計
-
其中 表示對偶空間 的範數。
對稱情形
如果雙線性型 對稱,那麼對所有 有:
-
因 是命題(1)的唯一解,有
-
從 的強制性有:
-
取 ,從上式有 對任意 成立,因而得到 的結果。
應用