數學 中 ，填充维度 是一種可用于定义度量空间 中子集 之维度 的概念。某種程度上，填充維度和郝斯多夫維度 是對偶 的，因為填充維度是利用「填充」給定的子集來定義，而郝斯多夫維度是利用「覆蓋 」給定的子集來定義。填充維度C.Tricot Jr.在1982年引入。
设
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
s
≥
0
{\displaystyle s\geq 0}
S
{\displaystyle S}
s
{\displaystyle s}
填充前測度 （packing pre-measure ）為
P
0
s
(
S
)
=
lim sup
δ
↓
0
{
∑
i
∈
I
d
i
a
m
(
B
i
)
s
|
|
I
|
≤
|
N
|
,
球
B
i
∩
B
j
=
∅
∀
i
,
j
∈
I
,
diam
(
B
i
)
≤
δ
,
B
i
的 圓 心
∈
S
∀
i
∈
I
}
.
{\displaystyle {\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\left|{\begin{matrix}|I|\leq |\mathbb {N} |,\\{{\text{球}}\;\;B_{i}\cap B_{j}=\varnothing \;\forall i,j\in I},\\{\text{diam}}(B_{i})\leq \delta ,B_{i}{\text{ 的 圓 心 }}\in S\;\forall i\in I\end{matrix}}\right.\right\}.}}
上式只是一个前測度，而非真正的测度 ，
S
{\displaystyle S}
s
{\displaystyle s}
填充測度 的定義是
P
s
(
S
)
=
inf
{
∑
j
∈
J
P
0
s
(
S
j
)
|
S
⊆
⋃
j
∈
J
S
j
,
|
J
|
≤
|
N
|
}
,
{\displaystyle {\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},|J|\leq |N|\right\},}}
即填充測度是其可數 個覆蓋 的填充前測度和的最大下界。
如此一來，
S
{\displaystyle S}
dim
P
(
S
)
=
inf
{
s
≥
0
|
P
s
(
S
)
=
0
}
=
sup
{
s
≥
0
|
P
s
(
S
)
=
+
∞
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&=\inf \left\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\right\}\\&=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}.\end{aligned}}}
以下示例是填充維度與郝斯多夫維度不相等最简单的情况。
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
a
0
{\displaystyle a_{0}}
0
<
a
n
+
1
<
a
n
/
2
{\textstyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}
緊緻 集
E
0
⊃
E
1
⊃
E
2
⊃
⋯
{\textstyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }
設
E
0
=
[
0
,
1
]
{\textstyle E_{0}=[0,1]}
對每個
E
n
{\textstyle E_{n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
a
n
−
2
a
n
+
1
{\textstyle a_{n}-2a_{n+1}}
區間 ，以得到兩個長為長為
a
n
+
1
{\textstyle a_{n+1}}
現在定義
K
=
⋂
n
∈
N
E
n
{\textstyle K=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}
dim
H
(
K
)
=
lim inf
n
→
∞
n
log
2
−
log
a
n
,
dim
P
(
K
)
=
lim sup
n
→
∞
n
log
2
−
log
a
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}
容易知道對給定的數
0
≤
d
1
≤
d
2
≤
1
{\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
d
1
,
d
2
{\textstyle d_{1},d_{2}}
Tricot, Jr., Claude. Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1982, 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119
![{\textstyle E_{0}=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92f861c5407bae671e3c0e04dea17208f293e0b)
