填充維度

數學中 ,填充維度是一種可用於定義度量空間子集維度的概念。某種程度上,填充維度和郝斯多夫維度對偶的,因為填充維度是利用「填充」給定的子集來定義,而郝斯多夫維度是利用「覆蓋」給定的子集來定義。填充維度C.Tricot Jr.在1982年引入。

定義

 是度量空間且 ,那麼對 ,定義  維的填充前測度packing pre-measure)為

 

上式只是一個前測度,而非真正的測度  填充測度的定義是

 

即填充測度是其可數覆蓋的填充前測度和的最大下界。

如此一來, 的填充維度定義為

 

示例

以下示例是填充維度與郝斯多夫維度不相等最簡單的情況。

 考慮序列   使得  。定義一系列的緊緻 如下:

  •  
  • 對每個  )的線段,去除中間長為 的開區間,以得到兩個長為長為 的閉區間。

現在定義 。可以證明

 

容易知道對給定的數 ,我們可以取序列 使得上面兩個維度分別是 

參見

參考資料

  • Tricot, Jr., Claude. Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1982, 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119.