增乘开平方法
增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方算法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来[1]。现存英国剑桥大学图书馆。 杨辉在所著《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图，并说明“杨辉详解开方本源，出《释锁算书》，贾宪用此术”。[2]。
术文
增乘开平方法，以商数乘下法递增求之。
商第一位。上商得数以乘下法为乘方。命上商除实。上商得数以乘下法入乘方。一退为廉，下法再退。
商第二位。商得数以乘下法为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三位商数。
商第三位。用法如第二位求之。
算筹十进位制布位
- 算筹的布位。贾宪在纸上用书写方式将算筹码按十进位制布位。七万一千八百二十四分写两行：
| 七 | 一 | 八 | 二 | 四 |
|---|---|---|---|---|
| 万 | 千 | 百 | 十 | 步 |
下行的步、十、百、千、万分离出来变为算筹的位值标签；上行七一八二四成为十进位制数码。
然后将算筹码依次排在相应的位值标签步、十、百、千、万之下：
| 七 | 一 | 八 | 二 | 四 |
|---|---|---|---|---|
| 万 | 千 | 百 | 十 | 步 |
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杨辉算草
杨辉以七万一千八百二十四为例，列出详细算草。
算草分四行，被除数放在第二行，称为实，第一行是商，第四行为下法，第三行是廉。
将算筹 放在第四行万字之下。
| 商 | |||||
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实 |
| 廉 | |||||
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下法 |
第一步先估计第一个商数得2，将
安置在第一行百位置之上。
将上商2乘下法1，得数2，放在第三行。命上商除实，二二得四，从 万减去四万得
万。
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商 | ||||
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实 |
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廉 | ||||
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下法 |
求第二个商数：将上商乘下法二一得二，加入廉二，成为 。
将廉数 （万）退一位成为
（千）；将下法 退二位。
作减根变换 ，得
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商 | ||||
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实 |
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廉 | ||||
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下法 |
估第二位商数得6，将新商数6乘下法1（百）得6（百）并入廉。
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商 | |||
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实 |
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廉 | |||
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下法 |
从实除去商6乘廉46
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商 | |||
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实 | |
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廉 | |||
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下法 |
商数6乘下法1，并入廉
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商 | |||
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实 | |
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廉 | |||
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下法 |
廉数退一位，下法退二位，估第三位商得8；商乘下法并入廉
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商 | ||
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实 | |
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廉 | ||
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下法 |
从实除去商乘廉；净除。七万一千八百二十四的平方根是二百六十八。
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商 | ||
| 实 | |||||
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廉 | ||
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下法 |
用增乘开平方法可解得 。
参考文献
引用
来源
- 钱宝琮：《增乘开方法的历史发展》，《李俨钱宝琮科学史全集》卷9 479-488页
