增乘開平方法

增乘開平方法是北宋數學家賈憲發明的開方算法，原收《釋鎖算書》一書。賈憲原作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，被抄入《永樂大典》卷一萬六千三百四十四，幸得以保存下來。現存英國劍橋大學圖書館。 楊輝在所著《詳解九章算法》《開方作法本元》一章中作賈憲開方作法圖，並說明「楊輝詳解開方本源，出《釋鎖算書》，賈憲用此術」。。

永樂大典楊輝增乘開方法

賈憲增乘開平方法

術文

增乘開平方法，以商數乘下法遞增求之。

商第一位。上商得數以乘下法為乘方。命上商除實。上商得數以乘下法入乘方。一退為廉，下法再退。

商第二位。商得數以乘下法為隅。命上商除實訖。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三位商數。

商第三位。用法如第二位求之。

算籌十進位制布位

• 算籌的布位。賈憲在紙上用書寫方式將算籌碼按十進位制布位。七萬一千八百二十四分寫兩行：

七	一	八	二	四
萬	千	百	十	步

下行的步、十、百、千、萬分離出來變為算籌的位值標籤；上行七一八二四成為十進位制數碼。

然後將算籌碼依次排在相應的位值標籤步、十、百、千、萬之下：

七	一	八	二	四
萬	千	百	十	步

楊輝算草

楊輝以七萬一千八百二十四為例，列出詳細算草。 算草分四行，被除數放在第二行，稱為實，第一行是商，第四行為下法，第三行是廉。 將算籌放在第四行萬字之下。$x^{2}=71824$

					商
					實
					廉
					下法

第一步先估計第一個商數得2，將安置在第一行百位置之上。 將上商2乘下法1，得數2，放在第三行。命上商除實，二二得四，從萬減去四萬得萬。

					商
					實
					廉
					下法

求第二個商數：將上商乘下法二一得二，加入廉二，成為。 將廉數（萬）退一位成為（千）；將下法退二位。

作減根變換 $x=x+200$，得 $x^{2}+520x=4224$

					商
					實
					廉
					下法

估第二位商數得6，將新商數6乘下法1（百）得6（百）併入廉。

					商
					實
					廉
					下法

從實除去商6乘廉46

					商
					實
					廉
					下法

商數6乘下法1，併入廉

					商
					實
					廉
					下法

廉數退一位，下法退二位，估第三位商得8；商乘下法併入廉

					商
					實
					廉
					下法

從實除去商乘廉；淨除。七萬一千八百二十四的平方根是二百六十八。

					商
					實
					廉
					下法

用增乘開平方法可解得$x={\sqrt {71824}}=\,$$268$ 。

參考文獻

來源

• 錢寶琮：《增乘開方法的歷史發展》，《李儼錢寶琮科學史全集》卷9 479-488頁

參見

• 平方根
• 賈憲
  • 賈憲三角形
  • 增乘開立方法