巴拿赫代数

泛函分析中,得名于斯特凡·巴拿赫巴拿赫代数实数复数(或非阿基米德完备赋范域)上的结合代数A,同时也是巴拿赫空间,即在范数导出的度量完备赋范空间。范数要满足

这确保了乘法运算连续

若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元,则称其是含幺的(unital)。若其乘法是可交换的,则称其可交换。任意巴拿赫代数A(无论有无单位元)都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数,从而形成理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的:因为可以先考虑,再在原始代数中应用结果,来发展许多理论。不过并非总如此,例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数

实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数,例如非平凡复巴拿赫代数中元素的不会是空的,而实巴拿赫代数中,某些元素的谱可能是空的。

巴拿赫代数也可以定义在P进数域上。这是P进数分析的一部分。

例子

巴拿赫代数的典型例子是 ,即定义在局部紧豪斯多夫空间X在无穷远处消失的(复值)连续函数空间。当且仅当X紧空间 含幺。共轭复数对合,因此 实际上是C*-代数。更一般地说,C*-代数都是巴拿赫代数。

  • 实数(或复数)集是巴拿赫代数,范数为绝对值
  • 若给所有实数或复数n阶方阵集合配备服从乘法范数,就成为含幺巴拿赫代数。
  • 取巴拿赫空间 (或 ),范数为 ,并定义乘法分量形式: 
  • 四元数形成了4维实巴拿赫代数,范数为四元数的绝对值。
  • 定义在某集合(具有逐点乘和上确范数)上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。
  • 局部紧空间(具有逐点乘和上确范数)上的有界连续实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。
  • 巴拿赫空间E(以函数复合为乘法,以算子范数为范数)上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E上所有紧算子的集合是巴拿赫代数,也是闭理想。若 ,则没有单位元。[1]
  • G局部紧豪斯多夫拓扑群 是其哈尔测度,则G上所有 可积函数的巴拿赫空间 卷积 下成为巴拿赫代数。[2]
  • 一致代数:巴拿赫代数,是复代数 的子代数,具有上确范数,包含常数并分离了X的点(必须是紧豪斯多夫空间)。
  • 自然巴拿赫函数代数:一致代数,其所有特征都在X的点上取值。
  • C*-代数:某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭*-子代数,是巴拿赫代数。
  • 测度代数:包含某局部紧群上所有拉东测度的巴拿赫代数,测度之积由卷积给出。[2]
  • 四元数代数 是实巴拿赫代数,不是复代数,因为四元数的中心是实数。
  • 仿射体代数(affinoid algebra)是非阿基米德域上的一种巴拿赫代数,是刚性解析几何的基本构件。

性质

一些由幂级数定义的初等函数可在任意含幺巴拿赫代数中定义,如指数函数三角函数,及更一般的任意整函数(特别地,指数映射可用于定义抽象索引群)。几何级数公式在一般含幺巴拿赫代数中仍有效。二项式定理对巴拿赫代数中两个交换元也成立。 任何含幺巴拿赫代数中的可逆元集合都是开集,其上的逆运算是连续的(因此是同胚),所以形成了乘法下的拓扑群[3]

若巴拿赫代数有幺元 ,则 不可能是交换子;即 。这是因为 若不是 ,则具有相同的

上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数(如实数)迥异的性质,例如:

  • 除代数的实巴拿赫代数同构于实数、复数或四元数。因此,只有是除代数的复巴拿赫代数是复形。(这就是盖尔范德-马祖尔定理
  • 没有零除子的含幺实巴拿赫代数的主理想都是的,代数同构于实数、复数与四元数。[4]
  • 没有零除子的交换实含幺诺特巴拿赫代数同构于实数或复数。
  • 交换实含幺诺特巴拿赫代数(可有零除子)是有限维的。
  • 巴拿赫代数中的永久奇异元是零的拓扑除子,也就是说,考虑巴拿赫代数A的扩张B,使一些在给定代数A中奇异的元素,在B中有乘法逆元。A中零的拓扑除子在A的任意巴拿赫扩张B中都是永久奇异的。

谱理论

复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素 的谱记作 ,包含所有使 A中不可逆的复标量 。任意元素x的谱是 中半径为 、圆心在 的闭圆盘的闭子集,于是也是的。另外,元素x的谱 也非空,满足谱半径公式:  

给定 全纯函数微积分允许为在 的邻域全纯的任意函数f定义 ;此外,谱映射定理成立:[5]  

若巴拿赫代数A是复巴拿赫空间X上的有界线性算子的代数 (例如方阵的代数),则A中的谱与算子理论中的谱重合。对 (紧豪斯多夫空间X),可见:  

C*-代数的正规元素x的范数与谱半径重合,这推广了正规算子的类似事实。

A为复含幺巴拿赫代数,当中非零元x都可逆(是除代数)。 ,都有 使  不可逆(因为a的谱非空),于是 代数A自然同构于 (盖尔范德-马祖尔定理的复数情形)。

理想与特征

A 上的含幺交换巴拿赫代数。由于A是含幺交换环,A的不可逆元属于A的某极大理想。由于极大理想 是闭的, 是巴拿赫代数且是域,且由盖尔范德-马祖尔定理,A的最大理想集与非零同胚  之间有双射。集合 称作A的“结构空间”或“特征空间”,元素为“特征”。

特征 A上的线性泛函,是乘法函数( 且满足 。)每个特征都是 且自动连续,因为特征的核是最大理想,是闭的;而且范数(即算子范数)为1。装备了A上逐点收敛拓扑(即由 的弱*-拓扑诱导的拓扑)后,特征空间 是豪斯多夫紧空间。

    q在 x盖尔范德表示,定义如下: 是连续函数 ,由 给出。 的谱也是作为紧空间 上复连续函数的代数 的元素的谱。显式地写,  

作为代数,当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核,其是半单的(即其雅各布森根为零)。这种代数的重要例子是交换C*-代数。事实上,若A是交换含幺C*-代数,则其盖尔范德表示是 间的等距*-同构。[a]

巴拿赫*-代数

巴拿赫*-代数A复数域上的巴拿赫代数,以及映射 ,满足如下性质:

  1.  (于是映射是对合
  2.  
  3.  ,其中 表示 共轭复数
  4.  

也就是说,巴拿赫*-代数是 上的巴拿赫代数,也是*-代数

在大多数自然例子中,还需要对合是等距的,即   有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。

巴拿赫*-代数满足 C*-代数

另见

注释

  1. ^ 证明:由于交换C*-代数的元素都是正规的,所以盖尔范德表示是等距的;特别是,其是单射,像是闭的。盖尔范德表示的像由魏尔施特拉斯逼近定理是稠密的。

参考文献

  1. ^ Conway 1990,Example VII.1.8.
  2. ^ 2.0 2.1 Conway 1990,Example VII.1.9.
  3. ^ Conway 1990,Theorem VII.2.2.
  4. ^ García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez. A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (9): 2663–2666 [2023-12-22]. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. doi:10.2307/2160559. (原始内容存档于2023-12-25). 
  5. ^ Takesaki 1979,Proposition 2.8.