希尔伯特符号

在数学中，如果给定一个局部域 $K$ ，比如说实数域或p-进数域，设其去掉0后的乘法群为K^×，则希尔伯特符号是一个关于K^×的由互反律抽离而来的代数建构。希尔伯特符号得名于数学家大卫·希尔伯特。

具体来说，希尔伯特符号是一个从 K^× × K^× 射到 {−1,1} 的函数 $h(\cdot ,\cdot )$ ：

$h\left(a,b\right)={\begin{cases}\;\;\,+1\\\;\;\,-1\end{cases}}$	如果方程 $z^{2}=ax^{2}+by^{2}$ 有非零的正整数解 $(x,y,z)$
	如果方程 $z^{2}=ax^{2}+by^{2}$ 只有零解

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性质

由定义可以直接得到希尔伯特符号的三个性质：

如果 $a$ 是完全平方数，那么对任意的 $b$ ，都有 $h(a,b)=1$ 。
对 $\mathbf {K} ^{\times }$ 中任意 $a$ 、 $b$ ， $h(a,b)=h(b,a)$ 。
如果 $a\in \mathbf {K} ^{\times }$ 而且 $a-1\in \mathbf {K} ^{\times }$ ，那么 $h(a,1-a)=1$ 。