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立方体堆砌

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立方体堆砌（Cubic Honeycomb）[2]是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其縮寫為chon[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方体堆砌
立方蜂巢體
線架圖
類型正堆砌
家族立方形堆砌
維度3
對偶多胞形立方体堆砌（自身對偶）在维基数据编辑
類比正方形鑲嵌
識別
名稱立方体堆砌
參考索引[1]J11,15, A1
W1, G22
鮑爾斯縮寫
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		chon在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）		node_1 4 node 3 node 4 node 
考克斯特記號
（英语：Coxeter notation）		[4,3,4]
纖維流形記號4−:2
施萊夫利符號{4,3,4}在维基数据编辑
性質
胞{4,3}
棱处相交胞：4×{4,3}
顶点处相交胞：8×{4,3}
面{4}
棱处相交面：4×{4}
顶点处相交面：12×{4}
邊∞
顶点处相交棱：6
歐拉示性數0
組成與佈局
顶点图
（正八面体）
對稱性
對稱群
空間群Pm3m
考克斯特群, [4,3,4]
特性
顶点正（英语：vertex-transitive）

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有对称性，有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

性質

立方体堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

頂點坐標

 
簡單立方。

立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為：

(i, j, k)
對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍。

正交投影

正交投影
對稱性 p6m (*632) p4m (*442) pmm (*2222)
實體圖      
框線圖      

相關堆砌

立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身对偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

自然界中的立方体堆砌

 
氯化钠(NaCl)的晶体结构：面心立方晶格。

作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。

簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

晶系 單斜
三斜 		正交 四方 三方 立方
胞
單位晶格 		平行六面體 長方體 三方
偏方面體 		正方體
點群
阶
旋轉對稱群 		[ ], (*)
Order 2
[ ]+, (1) 		[2,2], (*222)
Order 8
[2,2]+, (222) 		[4,2], (*422)
Order 16
[4,2]+, (422) 		[3], (*33)
Order 6
[3]+, (33) 		[4,3], (*432)
Order 48
[4,3]+, (432)
圖示          
空間群
旋轉對稱群 		Pm (6)
P1 (1) 		Pmmm (47)
P222 (16) 		P4/mmm (123)
P422 (89) 		R3m (160)
R3 (146) 		Pm3m (221)
P432 (207)
考克斯特式 - [∞]a×[∞]b×[∞]c [4,4]a×[∞]c - [4,3,4]a
考克斯特符號（英语：Coxeter diagram） -                       -        

表面著色

作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有 对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号       ，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pm3m空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：

名称 考克斯特标记
空间群 		考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram） 施莱夫利符号 有限部
分图像 		颜色组合
（字母表示）
立方体堆砌 [4,3,4]
Pm3m 		        {4,3,4}
1: aaaa/aaaa
三次截半半
立方体堆砌 		[4,31,1]
Fm3m 		      {4,31,1}
2: abba/baab
截面立方体
堆砌 		[4,3,4]
Pm3m 		        t0,3{4,3,4}
4: abbc/bccd
[[4,3,4]]
Pm3m (229) 		    t0,3{4,3,4}
4: abbb/bbba
正四棱柱
堆砌 		[4,3,4,2,∞]           {4,4}×t{∞}
2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱
堆砌 		[4,3,4,2,∞]           t1{4,4}×{∞}
2: abba/abba
无穷次无穷次
无穷边形 		[∞,2,∞,2,∞]             t{∞}×t{∞}×{∞}
4: abcd/abcd
无穷次无穷次
无穷边形 		[∞,2,∞,2,∞]             t{∞}×t{∞}×t{∞}
8: abcd/efgh

相關多面體和鑲嵌

立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方体堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。

{p,3,4}
空間 S3 E3 H3（英语：雙曲空間）
來源 有限 仿射 緊湊 仿緊 非緊
施式 {3,3,4}
       
      		{4,3,4}
       
     
         		{5,3,4}（英语：order-4 dodecahedral honeycomb）
       
      		{6,3,4}（英语：order-4 hexagonal tiling honeycomb）
       
     
        		{7,3,4}
       
      		{8,3,4}
       
      		... {∞,3,4}
       
     
圖像        
胞  
{3,3}
      		 
{4,3}
      		 
{5,3}
      		 
{6,3}
      		 
{7,3}
      		 
{8,3}
      		 
{∞,3}
     

考克斯特群[4,3,4]、       產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群 纖維流形 擴展
對稱群 		擴展
标记 		阶 蜂巢體
（堆砌）
Pm3m
(221) 		4−:2 [4,3,4]         ×1         1,         2,         3,         4,
        5,         6
Fm3m
(225) 		2−:2 [1+,4,3,4]
↔ [4,31,1] 		       
↔       		Half         7,         11,         12,         13
I43m
(217) 		4o:2 [[(4,3,4,2+)]]     Half × 2     (7),
Fd3m
(227) 		2+:2 [[1+,4,3,4,1+]]
↔ [[3[4]]] 		   
↔     		Quarter × 2     10,
Im3m
(229) 		8o:2 [[4,3,4]]     ×2

    (1),     8,     9

考克斯特群[4,31,1],      , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌。

空間群 纖維流形 擴展
對稱群 		擴展
标记 		阶 蜂巢體
（堆砌）
Fm3m
(225) 		2−:2 [4,31,1]
↔ [4,3,4,1+] 		     
↔         		×1       1,       2,       3,       4
Fm3m
(225) 		2−:2 <[1+,4,31,1]>
↔ <[3[4]]> 		     
↔       		×2       (1),       (3)
Pm3m
(221) 		4−:2 <[4,31,1]>       ×2

      5,       6,       7,       (6),       9,       10,       11

立方體堆砌是 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌[4]之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：

空間群 纖維流形 方形
對稱群 		擴展
對稱群 		擴展
标记 		擴展
阶 		蜂巢體
（堆砌）
F43m
(216) 		1o:2 a1 [3[4]]       ×1 (None)
Fd3m
(227) 		2+:2 p2 [[3[4]]]    
↔         		×2     3
Fm3m
(225) 		2−:2 d2 <[3[4]]>
↔ [4,3,31,1] 		     
↔       		×2       1,      2
Pm3m
(221) 		4−:2 d4 [2[3[4]]]
↔ [4,3,4] 		     
↔         		×4       4
Im3m
(229) 		8o:2 r8 [4[3[4]]]
↔ [[4,3,4]] 		   
↔     		×8     5,     (*)

参考

  1. ^ For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
  2. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  3. ^ Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27]. 
  4. ^ [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, A000029 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 6-1 cases, skipping one with zero marks
 
维基共享资源上的相关多媒体资源：立方体堆砌
  • H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
  • Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
  • A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
  • Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org. 
  • Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （页面存档备份，存于互联网档案馆）
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