本文介绍联络的挠率，关于挠率的其他用法，参见
挠率 。
在微分几何 中，扭率 或稱挠率 此一概念是刻画沿着曲线移动的标架 的扭曲或螺旋 的方法。例如曲线的挠率 ，出现在弗莱纳公式 中，量化了一条曲线变化时关于它的切向量的扭曲程度（更确切的说弗莱纳标架 关于切向量的旋转）。在曲面的几何中，“测地挠率”描述了曲面关于曲面上一条曲线的扭曲。相伴的曲率 概念度量了沿着曲线的活动标架“没有扭曲的转动”。
沿着测地线的挠率 更一般地，在装备一个仿射联络 （即切丛 的一个联络 ）的微分流形 上，挠率与曲率构成了联络的两个基本不变量。在这种意义下，挠率给出了切空间 关于一条曲线平行移动 怎样扭曲的内蕴刻画；而曲率描述了切空间沿着曲线怎样旋转。挠率可具体的描述为一个张量 ，或一个向量值 2-形式 。如果 ∇ 是微分流形上一个联络，那么挠率张量用向量场 X 与 Y 表示定义为：
T
(
X
,
Y
)
=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
{\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
这里 [X ,Y ] 是向量场的李括号 。
挠率在测地线 几何的研究特别重要。给定一个参数化测地线系统，我们一定指定一族仿射联络具有这些测地线，但是具有不同的挠率。具有惟一“吸收挠率”的联络，将列维-奇维塔联络 推广到其他，也许没有度量的情形（比如芬斯勒几何 ）。吸收挠率在G-结构 与嘉当等价方法 的研究中也起着重要的作用。挠率通过关联的射影联络 在研究测地线非参数族也很有用。在相对论 中，这种想法以爱因斯坦-嘉当理论 的形式提供了工具。
设 M 是切丛上带有联络 ∇ 的流形。挠率张量 （有时也称为嘉当（挠率）张量）是一个向量值 2-形式 ，定义在向量场 X 于 Y 上
T
(
X
,
Y
)
:=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
,
{\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,}
这里 [X ,Y ] 是两个向量场的李括号 。由莱布尼兹法则 ，对任何光滑函数 f 有 T (fX ,Y ) = T (X ,fY ) = fT (X ,Y )。所以 T 是一个张量 ，尽管是用非张量的共变导数 定义的：它给出了切向量上的一个 2 形式，但共变导数只对向量场有定义。
联络 ∇ 的曲率张量 是一个映射 TM ∧ TM → End(TM ) ，定义在向量场 X , Y , 与 Z 上
R
(
X
,
Y
)
Z
=
∇
X
∇
Y
Z
−
∇
Y
∇
X
Z
−
∇
[
X
,
Y
]
Z
.
{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .}
注意，对位于一点的向量，这个定义与这个向量如何扩张成一个向量场的方式无关（即定义了一个张量，类似于挠率）。
比安基恒等式 联系了曲率和挠率。[ 1] X , Y 与 Z 的循环求和 记为
S
{\displaystyle {\mathfrak {S}}}
S
(
R
(
X
,
Y
)
Z
)
:=
R
(
X
,
Y
)
Z
+
R
(
Y
,
Z
)
X
+
R
(
Z
,
X
)
Y
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y\ .}
那么下面的公式成立
1. 比安基第一恒等式 ：
S
(
R
(
X
,
Y
)
Z
)
=
S
(
T
(
T
(
X
,
Y
)
,
Z
)
+
(
∇
X
T
)
(
Y
,
Z
)
)
,
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)\ ,}
2. 比安基第二恒等式 ：
S
(
(
∇
X
R
)
(
Y
,
Z
)
+
R
(
T
(
X
,
Y
)
,
Z
)
)
=
0
.
{\displaystyle {\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0\ .}
挠率张量在切丛的局部截面 的基 (e 1 , ..., e n ) 下可写成分量
T
c
a
b
{\displaystyle T^{c}{}_{ab}}
X =e i ，Y =e j ，引入交换子系数 γk ij e k := [e i ,e j ]。那么挠率的分量是
T
k
i
j
:=
Γ
k
i
j
−
Γ
k
j
i
−
γ
k
i
j
,
i
,
j
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}
如果基是和乐 的，则李括号变为零，
γ
k
i
j
=
0
{\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}
T
k
i
j
=
2
Γ
k
[
i
j
]
{\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}
测地线方程 确定联络的对称部分，而挠率张量确定反对称部分。
挠率形式 ，是挠率的另一种刻画，适用于 M 的标架丛 FM 。这个主丛 装备有一个联络形式 ω，一个 gl (n )-值的 1-形式将竖直向量映到 gl (n ) 中的右作用的生成元，且通过在 gl (n ) 上的伴随表示 等变纠缠于 GL(n ) 在 FM 的切丛上的右作用。标架丛也带有一个典范 1 形式 θ，取值于
R n ，定义在标架 u ∈ Fx M （视为一个线性函数 u : R n → Tx M ）为
θ
(
X
)
=
u
−
1
(
d
π
(
X
)
)
{\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))}
这里 π : FM → M 是主丛的投影映射。那么挠率形式是
Θ
=
d
θ
+
ω
∧
θ
.
{\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta \ .}
等价地， Θ = Dθ，这里 D 是由联络确定的外共变导数 。
挠率形式是一个取值于 R n 的（水平）扭曲形式 ，意味着在 g ∈ Gl(n ) 的右作用下等变：
R
g
∗
Θ
=
g
−
1
⋅
Θ
,
{\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta \ ,}
这里 g 通过它在 R n 上的基本表示作用在左边。
曲率形式 是 gl (n )-值 2-形式
Ω
=
D
ω
=
d
ω
+
ω
∧
ω
.
{\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega \ .}
这里，D 同样表示外共变导数。用曲率形式和挠率形式表示，相应的比安基恒等式为：
[ 2]
D
Θ
=
Ω
∧
θ
{\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }
D
Ω
=
0.
{\displaystyle D\Omega =0.\,}
进一步，我们可以从曲率形式和挠率形式复原曲率和挠率。在 Fx M 中的点 u ，我们有[ 3]
R
(
X
,
Y
)
Z
=
u
(
2
Ω
(
π
−
1
(
X
)
,
π
−
1
(
Y
)
)
)
(
u
−
1
(
Z
)
)
,
{\displaystyle R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),}
T
(
X
,
Y
)
=
u
(
2
Θ
(
π
−
1
(
X
)
,
π
−
1
(
Y
)
)
)
,
{\displaystyle T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),}
这里 u : R n → Tx M 是确定纤维中标架的函数，且向量通过 π-1 的提升与选取无关，因为曲率和挠率形式是水平的（它们在不确定的竖直向量上为 0）。
挠率形式可用底流形 M 上的联络形式 ，在切丛的一个特殊的标架 (e 1 ,...,e n ) 下写出。联络形式表述这些截面的外共变导数
D
e
i
=
∑
j
=
1
n
e
j
ω
i
j
.
{\displaystyle D{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\mathbf {e} }_{j}\omega _{i}^{j}\ .}
切丛的焊接形式 （关于这个标架）是 e i 的对偶基 θi ∈ T* M ，所以 θi (e j ) = δi j （克罗内克函数 ）
那么挠率 2-形式有分量
Θ
k
=
d
θ
k
+
∑
j
=
1
n
ω
j
k
∧
θ
j
=
∑
i
,
j
T
i
j
k
θ
i
∧
θ
j
.
{\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum _{j=1}^{n}\omega _{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum _{i,j}T_{ij}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}\ .}
在最右边的表达式中，
T
i
j
k
=
θ
k
(
∇
e
i
e
j
−
∇
e
j
e
i
−
[
e
i
,
e
j
]
)
{\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}
是挠率张量的标架分量，由首先的定义给出。
容易证明 Θi 像张量一个变化：如果另一个标架
e
~
i
=
∑
j
e
j
g
i
j
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{j}\mathbf {e} _{j}g_{i}^{j}}
对某个可逆矩阵值函数 (g i j )，那么
Θ
~
i
=
(
g
−
1
)
j
i
Θ
j
.
{\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})_{j}^{i}\Theta ^{j}.}
换句话说，Θ 是 (1,2) 型张量（一个反变、两个共变指标）。
做为另一种选择，焊接形式能用无标架形式刻画为 M 上的 TM -值 1形式θ，在对偶同构 End(TM ) ≈ TM ⊗ T* M 下对应于切丛的恒等同态。则挠率 2-形式是
Θ
∈
Hom
(
∧
2
T
M
,
T
M
)
{\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)}
的一个截面，由
Θ
=
D
θ
,
{\displaystyle \Theta =D\theta \ ,}
给出。这里 D 是外共变导数 （更多细节参见联络形式 ）。
挠率张量可以分解为两个不可约 部分：不含迹 的部分与包含迹的部分。用指标记法 ，T 的迹为
a
i
=
T
i
k
k
,
{\displaystyle a_{i}=T_{ik}^{k}\ ,}
不含迹的部分为
B
j
k
i
=
T
j
k
i
+
1
n
−
1
δ
j
i
a
k
−
1
n
−
1
δ
k
i
a
j
{\displaystyle B_{jk}^{i}=T_{jk}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta _{j}^{i}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta _{k}^{i}a_{j}}
这里 δi j 是克罗内克函数 。
本质上有，
T
∈
Hom
(
∧
2
T
M
,
T
M
)
.
{\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right)\ .}
T 的迹 tr T ，是如下定义的 T* M 中一个元素。对固定的任何向量X ∈ TM ，T 定义了一个 Hom(TM , TM ) 中一个元素 T (X )，通过
T
(
X
)
:
Y
↦
T
(
X
∧
Y
)
.
{\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)\ .}
那么 (tr T )(X ) 定义为这个同态的迹。这就是，
(
tr
T
)
(
X
)
=
def
tr
(
T
(
X
)
)
.
{\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X))\ .}
T 不含迹的部分为
T
0
=
T
−
1
n
−
1
ι
(
tr
T
)
{\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)}
这里 ι 表示内乘 。
作为比安基恒等式的推论，1-形式 tr T 是一个闭 1-形式：
d
(
tr
T
)
=
0
,
{\displaystyle d(\operatorname {tr} \,T)=0\ ,}
这里 d 是外导数 。
这一节中总是假设：M 是微分流形 ，∇ 是 M 切丛 上的共变导数 除非另外指明。
假设 x t 是 M 上一条曲线。x t 的仿射 进化 x0 M 中惟一的曲线 C t 使得
C
˙
t
=
τ
t
0
x
˙
t
,
C
0
=
0
{\displaystyle {\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t},\quad C_{0}=0}
这里
τ
t
0
:
T
x
t
M
→
T
x
0
M
{\displaystyle \tau _{t}^{0}:T_{x_{t}}M\to T_{x_{0}}M}
是与 ∇ 关联的平行移动 。
特别地，如果 x t 是一个闭环路 ，则 C t 是否闭取决于联络的挠率。从而挠率解释为曲线的 development 的螺位错 。这样，挠率与联络的和乐 转移分量联系起来。相伴的曲率概念描绘了无穷小线性变换（在黎曼联络 情形或为旋转）。
在经典曲线的微分几何 中，弗莱纳公式 描述了一个特别的活动标架（弗莱纳标架 ）沿着一条曲线怎样“扭曲”。用物理语言，挠率对应于一个假想的沿着曲线的陀螺 的角动量 。
带有（度量）联络的流形可类比地解释。假设一个观察者沿着这个联络下的测地线移动。这个观察者通常认为自己是在惯性参考系 中，因为她没有经历过加速度 。另外假设观察者携带着一个刚性直测量杆系统（一个坐标系 ）。每根杆都是直线段，一条测地线。假设每根杆沿着轨道都是平行移动 ，这些杆是沿着轨迹物理的“携带”的事实意味着是“李 拖曳”或传播，所以沿着切向量每根杆子的李导数 为零。类似于弗莱纳标架 上的陀螺，它们可能经受力矩（或扭力）。这个力便由挠率衡量。
更准确地，假设观察者沿着测地线 γ(t ) 移动，携带着一个测量杆。当观察者移动时，杆子扫过一个曲面。沿着这个曲面有一个自然坐标系 (t ,x )，这里 t 是由观察者确定的时间参数，x 是沿着测量杆的长度。测量杆须沿着曲线平行移动的条件为
∇
∂
/
∂
τ
∂
∂
x
|
x
=
0
=
0.
{\displaystyle \left.\nabla _{\partial /\partial \tau }{\frac {\partial }{\partial x}}\right|_{x=0}=0.}
从而，挠率由
T
(
∂
∂
x
,
∂
∂
τ
)
|
x
=
0
=
∇
∂
∂
x
∂
∂
τ
|
x
=
0
.
{\displaystyle \left.T\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\right|_{x=0}=\left.\nabla _{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right|_{x=0}.}
给出。如果不是零，则杆上标出的这点（点 x = 常曲线）的轨迹为螺旋而不是测地线。它们将绕着观察者旋转。
这种挠率的解释在平行引力 理论中扮演着重要的角色。平行引力理论，也称为爱因斯坦-嘉当理论 ，是相对论 的一种替代性表述。
在材料科学 中，特别是弹性理论，挠率的想法也扮演着重要的角色。其中一个问题[ 4] 藤 生长的建模，专注于藤如何能绕着对象缠绕。藤自身模型化为一对相互缠绕的弹性纤维。在其能量极小状态，藤自然生长成一个螺旋状。但是藤也有可能伸长以达到广度（或长度）最大化。在此情形，藤的挠率与这对纤维的挠率有关（或等价地，链接两条纤维的带子的曲面挠率），这反映了藤的长度最大化（测地线）布局与能量最小化布局之间的差异。
在流体力学 中，挠率自然与涡线 相关。
假设 γ(t ) 是 M 上一条曲线。则 γ 是一条仿射参数化测地线 如果
∇
γ
˙
(
t
)
γ
˙
(
t
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}
对属于 γ的定义域中所有时间 t （这里点表示关于 t 求导，得到了 γ(t) 处切向量
γ
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}
t =0 切向量
γ
˙
(
0
)
{\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}
联络的挠率的一个运用涉及到联络的测地波浪 （geodesic spray ）：粗略地讲为所有仿射参数化测地线。
用测地波浪将联络分类时，不同挠率不能区分开来：
两个联络 ∇ 与 ∇′ 具有相同的仿射参数化测地线（即相同的测地波浪），只在挠率有区别。[ 5] 更准确地，如果 X 与 Y 是 p ∈ M 的一对切向量，那么令
Δ
(
X
,
Y
)
=
∇
X
Y
~
−
∇
X
′
Y
~
{\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}
是两个联络的差，用 X 与 Y 从 p 处的任意扩张计算。由莱布尼兹乘积法则，我们看出 Δ 事实上与 X 和 Y 如何扩张无关（所以定义了 M 上一个张量）。设 S 与 A 分别为 Δ 的对称与交替部分：
S
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
Δ
(
X
,
Y
)
+
Δ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}
A
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
Δ
(
X
,
Y
)
−
Δ
(
Y
,
X
)
)
{\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}
则
A
(
X
,
Y
)
=
1
2
(
T
(
X
,
Y
)
−
T
′
(
X
,
Y
)
)
{\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}
∇ 与 ∇′ 定义了相同的仿射参数化测地线族当且仅当 S (X ,Y ) = 0。 换句话说，两个联络之差的对称部分决定了它们是否具有相同的参数化测地线，然而差的斜对称部分由这两个联络的相对挠率决定。另一个推论是
给定任何仿射联络 ∇，存在惟一一个无挠联络 ∇′ 具有共同的仿射参数化测地线。 这是黎曼几何基本定理 到（也许无度量）仿射联络的一个推广。选出从属于一族参数化测地线惟一的联络也称为挠率的吸收 ，这是嘉当等价方法 的一个使用之处。
^ See Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, Proposition III.5.2.
^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.2.
^ Kobayashi-Nomizu (1996) Volume 1, III.5.
^ Goriely et al (2006).
^ See Spivak (1999) Volume II, Addendum 1 to Chapter 6. See also Bishop and Goldberg (1980), section 5.10.
Bishop, R.L.; Goldberg, S.I., Tensor analysis on manifolds, Dover, 1980 Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1923, 40 : 325–412 [2008-11-06 ] . （原始内容存档 于2014-04-11）. Cartan, Elie. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1924, 41 : 1–25 [2008-11-06 ] . （原始内容存档 于2014-04-11）. Elzanowski, M; Epstein, M, Geometric characterization of hyperelastic uniformity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1985, 88 (4): pp 347—357, doi:10.1007/BF00250871 Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models (PDF) , BIOMAT-2006 (Springer-Verlag), 2006, （原始内容 (PDF) 存档于2006-12-29） Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry 1 & 2 New edition, Wiley-Interscience, 19631996, ISBN 0471157333 Spivak, Michael , A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, 1999, ISBN 0914098713
![{\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c20ccb17431a4ccc168f73908ab0e3f22a98d4)
![{\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3a92b7da3c049f0557f7e1ab6eb8ce5a865244)
![{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528c0bf289e9887d0fe76d18c59dfc55dc368156)
![{\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8247e0713e7e599e045a0a5c174d8dc6bd4e81)
![{\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaf17a0cb0ae8199e70af6cb354470e89a6f9b6)
