施泰纳-莱穆斯定理

施泰纳-莱穆斯定理(Steiner–Lehmus theorem)是平面几何的一个定理:两条内角平分线相等的三角形等腰三角形。该命题看似显而易见,但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明,随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家C·L·莱穆斯英语C. L. Lehmus和瑞士数学家雅各布·施泰纳英语Jakob Steiner命名,两人在通信中最早提出和解决了该问题。

是等腰三角形

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说,两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。

历史

平面几何中,“等腰三角形的两条内角平分线相等”,是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题,“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”,则没有看上去那么容易证明。1840年,德国数学家C·L·莱穆斯英语C. L. Lehmus写信给瑞士数学家、几何学权威雅各布·施泰纳英语Jakob Steiner,询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了问题,不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明来自法国路易大帝中学的学生鲁热万(Rougevin),发表在1842年的《新数学年鉴法语Nouvelles annales de mathématiques》上。1850年,莱穆斯也给出了自己的证明。[1][2][3][4][5]

19世纪40年代起的一百多年里,关于施泰纳-莱穆斯定理的几何证明大量涌现,有上百个之多。绝大多数证明都依赖于反证法,即先假定两内角平分线相等的三角形不等腰,其中一个内角大于另一个,然后推出矛盾的结论。于是,关注点变成了,施泰纳-莱穆斯定理是否有“直接”的几何证明法,以及怎样的证明才算得上是“直接”。不过也有人认为,拒绝反证法的“纯粹主义”并没有什么意义。[5]

证明

反证法

 
反证法

  中,两条内角平分线  

假设   ,令  

在线段   上取点  ,使     于点  

         

结论与假设矛盾,故假设不成立。故  [5]

直接证明

 
直接证明法

  中,两条内角平分线   。记   

做直线   ,使  。做直线   ,使  

   
     
     

该证明方法由F. G. Hesse于1874年发表。不过,该证明方法所用到的一些构造和定理,如“三角形内角和为180度”,本身需要用反证法去证明,因此一些纯粹主义者认为这一证明还是不够直接。[6]

代数证明

利用角平分線長公式,可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。[7]

 

化简后得到:  

连乘的其他各项都为正数,从而推出:  

外角平分线问题

 
两条外角平分线相等的不等腰三角形。易证  

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说,两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。一个常举的反例是三个内角分别为132度、36度和12度的三角形,因为这个三角形的两条外角平分线恰等于一条边,易于证明。[8]

进一步地,数学家们尝试证明,所有两条外角平分线相等的不等腰三角形的共性。[8][9]中国数学家蒋声指出,满足下列条件的三角形都是有两条外角平分线相等的不等腰三角形:[10]

 

“两条外角平分线相等的三角形是等腰三角形”是假命题,不过较弱的命题是成立的:三角形的两个角的外角平分线相等,若第三个角是最大或最小的角,则该三角形是等腰三角形;不然,则不是等腰三角形。[11]

参考文献

  1. ^ Rougevin. Démonstration du théorème 1 (page 57) (PDF). Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. 1842, 1: 138-139 [2023-06-11]. (原始内容存档 (PDF)于2023-06-11) (法语). 
  2. ^ Steiner, J. Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische Dreieck. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1844, 28: 375-379 [2023-06-11]. (原始内容存档于2023-06-11) (德语). 
  3. ^ M'Bride, J. “The equal internal bisectors theorem, 1840-1940. … Many solutions or none?”: A centenary account (PDF). Edinburgh Mathematical Notes. 1943, 33: 1-13 [2023-06-11]. doi:10.1017/S0950184300000021. 原始内容存档于2019-05-02 (英语). 
  4. ^ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. Geometry Revisited (PDF). Washington, D.C.: The Mathematical Association of America. 1967: 14-16 [2023-06-11]. ISBN 0-88385-619-0. (原始内容存档 (PDF)于2023-01-28) (英语). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Sauvé, Léo. The Steiner-Lehmus theorem (PDF). Eureka. 1976, 2: 19-24 [2023-06-17]. (原始内容存档 (PDF)于2022-04-19) (英语). 
  6. ^ Gardner, Sherri R. A Variety of Proofs of the Steiner-Lehmus Theorem (Master of Science论文). East Tennessee State University: 19. 2013 [2023-06-25]. (原始内容存档于2023-06-27) (英语). 
  7. ^ Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. New York: Dover Publications. 1985: 103 [1967]. ISBN 0-486-24949-2 (英语). 
  8. ^ 8.0 8.1 Trigg, Charles W. Problem 862, Solution I (PDF). Mathematics Magazine. 1974, 1 (1): 52-53 [2023-06-11]. doi:10.2307/2688766. (原始内容存档 (PDF)于2022-02-13) (英语). 
  9. ^ 吴文俊; 吕学礼. 分角线相等的三角形:初等几何机器证明问题. 北京: 人民教育出版社. 1985. ISBN 9780070120723. 
  10. ^ 蒋声. 有两条外角平分线相等的不等边三角形. 中等数学. 1989, (01): 12-13. 
  11. ^ 叶余本. 続.二等辺三角形の性質の一つの研究. 日本数学教育学会誌. 1984, 66 (11): 45-49 [2023-06-11]. doi:10.32296/jjsme.66.11_45. (原始内容存档于2023-06-11).