施泰納-萊穆斯定理

施泰納-萊穆斯定理（Steiner–Lehmus theorem）是平面幾何的一個定理：兩條內角平分線相等的三角形是等腰三角形。該命題看似顯而易見，但直到19世紀上半葉才得到明確的幾何證明，隨後成為平面幾何領域最受歡迎的證明題之一。該定理以德國數學家C·L·萊穆斯和瑞士數學家雅各布·施泰納命名，兩人在通信中最早提出和解決了該問題。

$\alpha =\beta ,\;\gamma =\delta ,\;AE=BD$$\;\Rightarrow \;$$\triangle ABC$是等腰三角形

施泰納-萊穆斯定理的結論並不能推廣到外角平分線上。也就是說，兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。

歷史

在平面幾何中，「等腰三角形的兩條內角平分線相等」，是一個非常容易得到的結論。該命題的逆命題，「兩條內角平分線相等的三角形是等腰三角形」，則沒有看上去那麼容易證明。1840年，德國數學家C·L·萊穆斯寫信給瑞士數學家、幾何學權威雅各布·施泰納，詢問是否能給出一個純幾何的證明。施泰納解決了問題，不過直到1844年才公開發表。第一個公開證明來自法國路易大帝中學的學生魯熱萬（Rougevin），發表在1842年的《新數學年鑑》上。1850年，萊穆斯也給出了自己的證明。

19世紀40年代起的一百多年裡，關於施泰納-萊穆斯定理的幾何證明大量湧現，有上百個之多。絕大多數證明都依賴於反證法，即先假定兩內角平分線相等的三角形不等腰，其中一個內角大於另一個，然後推出矛盾的結論。於是，關注點變成了，施泰納-萊穆斯定理是否有「直接」的幾何證明法，以及怎樣的證明才算得上是「直接」。不過也有人認為，拒絕反證法的「純粹主義」並沒有什麼意義。

證明

反證法

反證法

在 $\triangle ABC$ 中，兩條內角平分線 $CE=BD$ 。

假設 $\angle ABC\neq \angle ACB$ ，令 $\angle ABC=2\alpha <\angle ACB=2\beta$ 。

在線段 $AB$ 上取點 $G$，使 $\angle ECG=\alpha$， $CG$ 交 $BD$ 於點 $F$ 。

$\triangle CEG\sim \triangle BFG$$\;\Rightarrow \;$${CG \over BG}={CE \over BF}={BD \over BF}>1$$\;\Rightarrow \;$$CG>BG$$\;\Rightarrow \;$$\angle CBG>\angle BCG$$\;\Rightarrow \;$$\alpha >\beta$

結論與假設矛盾，故假設不成立。故 $\angle ABC=\angle ACB$ 。

直接證明

直接證明法

在 $\triangle ABC$ 中，兩條內角平分線 $BE=CD$ 。記 $\angle CBE=\angle ABE=\alpha$ ，$\angle BCD=\angle ACD=\beta$ 。

做直線 $EF$ ，使 $\angle BEF=\beta$。做直線 $BF$ ，使 $\angle EBF=\angle CDB=180^{\circ }-2\alpha -\beta$ 。

$\triangle BEF\cong \triangle DCB$$\;\Rightarrow \;$${\begin{cases}BF=DB\\EF=CB\\\end{cases}}$

${\begin{cases}EF=CB\\CF=CF\\\angle CBF=\angle FEC=180^{\circ }-\alpha -\beta >90^{\circ }\\\end{cases}}$$\;\Rightarrow \;$$\triangle CBF\cong \triangle FEC$$\;\Rightarrow \;$$BF=EC$

$EC=BF=DB$$\;\Rightarrow \;$$\triangle DBC\cong \triangle ECB$$\;\Rightarrow \;$$\angle ABC=\angle ACB$

該證明方法由F. G. Hesse於1874年發表。不過，該證明方法所用到的一些構造和定理，如「三角形內角和為180度」，本身需要用反證法去證明，因此一些純粹主義者認為這一證明還是不夠直接。

代數證明

利用角平分線長公式，可以簡潔地證明施泰納-萊穆斯定理。

$t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}$

化簡後得到： $c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0$

連乘的其他各項都為正數，從而推出： $a-b=0$

外角平分線問題

兩條外角平分線相等的不等腰三角形。易證 $AD=AB=BE$

施泰納-萊穆斯定理的結論並不能推廣到外角平分線上。也就是說，兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。一個常舉的反例是三個內角分別為132度、36度和12度的三角形，因為這個三角形的兩條外角平分線恰等於一條邊，易於證明。

進一步地，數學家們嘗試證明，所有兩條外角平分線相等的不等腰三角形的共性。中國數學家蔣聲指出，滿足下列條件的三角形都是有兩條外角平分線相等的不等腰三角形：

${\begin{cases}A=\theta -\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\B=\theta +\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\C=180^{\circ }-2\theta \\60^{\circ }<\theta <90^{\circ }\\\end{cases}}$

「兩條外角平分線相等的三角形是等腰三角形」是假命題，不過較弱的命題是成立的：三角形的兩個角的外角平分線相等，若第三個角是最大或最小的角，則該三角形是等腰三角形；不然，則不是等腰三角形。