對於三維空間中任意一参考點
Q
{\displaystyle Q}
直角坐標系
Q
x
y
z
{\displaystyle Qxyz}
慣性張量
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
I
=
[
I
x
x
I
x
y
I
x
z
I
y
x
I
y
y
I
y
z
I
z
x
I
z
y
I
z
z
]
{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!}
（1） 這裏，矩陣的對角元素
I
x
x
{\displaystyle I_{xx}\,\!}
I
y
y
{\displaystyle I_{yy}\,\!}
I
z
z
{\displaystyle I_{zz}\,\!}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
轉動慣量 。設定
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
Q
{\displaystyle Q}
I
x
x
=
d
e
f
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
I
y
y
=
d
e
f
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
（2）
I
z
z
=
d
e
f
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
{\displaystyle I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}
矩陣的非對角元素，稱為慣量積 ，以方程式定義為
I
x
y
=
I
y
x
=
d
e
f
−
∫
x
y
d
m
{\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!}
I
x
z
=
I
z
x
=
d
e
f
−
∫
x
z
d
m
{\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!}
（3）
I
y
z
=
I
z
y
=
d
e
f
−
∫
y
z
d
m
{\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!}
圖A 如圖
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
直角座標系
G
x
y
z
{\displaystyle Gxyz}
L
G
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}\,\!}
L
G
=
∫
r
×
v
d
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times \mathbf {v} \ dm\,\!}
這裏，
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
G
x
y
z
{\displaystyle Gxyz}
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
L
G
=
∫
r
×
(
ω
×
r
)
d
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}
計算
x
{\displaystyle x}
L
G
x
=
∫
y
(
ω
×
r
)
z
−
z
(
ω
×
r
)
y
d
m
=
∫
y
ω
x
y
−
y
ω
y
x
+
z
ω
x
z
−
z
ω
z
x
d
m
=
∫
ω
x
(
y
2
+
z
2
)
−
ω
y
x
y
−
ω
z
x
z
d
m
=
ω
x
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
y
∫
x
y
d
m
−
ω
z
∫
x
z
d
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{Gx}&=\int \ y({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{z}-z({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{y}\ dm\\&=\int \ y\omega _{x}y-y\omega _{y}x+z\omega _{x}z-z\omega _{z}x\ dm\\&=\int \ \omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\ dm\\&=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\ .\end{aligned}}\,\!}
相似地計算
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
L
G
x
=
ω
x
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
y
∫
x
y
d
m
−
ω
z
∫
x
z
d
m
{\displaystyle L_{Gx}=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\,\!}
L
G
y
=
−
ω
x
∫
x
y
d
m
+
ω
y
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
−
ω
z
∫
y
z
d
m
{\displaystyle L_{Gy}=-\omega _{x}\int \ xy\ dm+\omega _{y}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{z}\int \ yz\ dm\,\!}
L
G
z
=
−
ω
x
∫
x
z
d
m
−
ω
y
∫
y
z
d
m
+
ω
z
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
{\displaystyle L_{Gz}=-\omega _{x}\int \ xz\ dm-\omega _{y}\int \ yz\ dm+\omega _{z}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}
如果，我們用方程式（1）設定對於質心
G
{\displaystyle G}
I
G
{\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
(
ω
x
,
ω
y
,
ω
z
)
{\displaystyle (\omega _{x}\;,\;\omega _{y}\;,\;\omega _{z})\,\!}
L
G
=
I
G
ω
{\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\mathbf {I} _{G}\ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
（4）
平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。假若已知剛體對於質心
G
{\displaystyle G}
I
G
{\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}
G
{\displaystyle G}
(
x
¯
,
y
¯
,
z
¯
)
{\displaystyle ({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!}
O
{\displaystyle O}
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
I
x
x
=
I
G
,
x
x
+
m
(
y
¯
2
+
z
¯
2
)
{\displaystyle I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}
I
y
y
=
I
G
,
y
y
+
m
(
x
¯
2
+
z
¯
2
)
{\displaystyle I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}
（5）
I
z
z
=
I
G
,
z
z
+
m
(
x
¯
2
+
y
¯
2
)
{\displaystyle I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!}
I
x
y
=
I
y
x
=
I
G
,
x
y
−
m
x
¯
y
¯
{\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!}
I
x
z
=
I
z
x
=
I
G
,
x
z
−
m
x
¯
z
¯
{\displaystyle I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!}
（6）
I
y
z
=
I
z
y
=
I
G
,
y
z
−
m
y
¯
z
¯
{\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!}
證明：
圖B a)參考圖B，讓
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
G
{\displaystyle G}
O
{\displaystyle O}
y
=
y
′
+
y
¯
{\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}
z
=
z
′
+
z
¯
{\displaystyle z=z\,'+{\bar {z}}\,\!}
依照方程式（2），
I
G
,
x
x
=
∫
(
y
′
2
+
z
′
2
)
d
m
{\displaystyle I_{G,xx}=\int \ (y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2})\ dm\,\!}
I
x
x
=
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
{\displaystyle I_{xx}=\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}
所以，
I
x
x
=
∫
[
(
y
′
+
y
¯
)
2
+
(
z
′
+
z
¯
)
2
]
d
m
=
I
G
,
x
x
+
m
(
y
¯
2
+
z
¯
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ [(y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}]\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}
相似地，可以求得
I
y
y
{\displaystyle I_{yy}\,\!}
I
z
z
{\displaystyle I_{zz}\,\!}
b)依照方程式（3），
I
G
,
x
y
=
−
∫
x
′
y
′
d
m
{\displaystyle I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!}
I
x
y
=
−
∫
x
y
d
m
{\displaystyle I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!}
因為
x
=
x
′
+
x
¯
{\displaystyle x=x\,'+{\bar {x}}\,\!}
y
=
y
′
+
y
¯
{\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}
I
x
y
=
−
∫
(
x
′
+
x
¯
)
(
y
′
+
y
¯
)
d
m
=
I
G
,
x
y
−
m
x
¯
y
¯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!}
相似地，可以求得對於點
O
{\displaystyle O}
圖C 參視圖C，設定點
O
{\displaystyle O}
Q
{\displaystyle Q}
Q
{\displaystyle Q}
O
{\displaystyle O}
O
Q
{\displaystyle OQ}
I
O
Q
=
∫
ρ
2
d
m
=
∫
|
η
×
r
|
2
d
m
{\displaystyle I_{OQ}\ =\int \ \rho ^{2}\ dm\ =\ \int \ \left|{\boldsymbol {\eta }}\times \mathbf {r} \right|^{2}\ dm\,\!}
這裏，
ρ
{\displaystyle \rho \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
O
Q
{\displaystyle OQ}
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\,\!}
O
Q
{\displaystyle OQ}
單位向量 ，
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
展開叉積，
I
O
Q
=
∫
[
(
η
y
z
−
η
z
y
)
2
+
(
η
x
z
−
η
z
x
)
2
+
(
η
x
y
−
η
y
x
)
2
]
d
m
{\displaystyle I_{OQ}=\int \ [(\eta _{y}z-\eta _{z}y)^{2}+(\eta _{x}z-\eta _{z}x)^{2}+(\eta _{x}y-\eta _{y}x)^{2}]\ dm\,\!}
稍微加以編排，
I
O
Q
=
η
x
2
∫
(
y
2
+
z
2
)
d
m
+
η
y
2
∫
(
x
2
+
z
2
)
d
m
+
η
z
2
∫
(
x
2
+
y
2
)
d
m
−
2
η
x
η
y
∫
x
y
d
m
−
2
η
x
η
z
∫
x
z
d
m
−
2
η
y
η
z
∫
y
z
d
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{OQ}=&\eta _{x}^{2}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{y}^{2}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{z}^{2}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\\&-2\eta _{x}\eta _{y}\int \ xy\ dm-2\eta _{x}\eta _{z}\int \ xz\ dm-2\eta _{y}\eta _{z}\int \ yz\ dm\ .\\\end{aligned}}\,\!}
特別注意，從方程式（2）、（3），這些積分項目，分別是剛體對於
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
O
Q
=
η
x
2
I
x
x
+
η
y
2
I
y
y
+
η
z
2
I
z
z
+
2
η
x
η
y
I
x
y
+
2
η
x
η
z
I
x
z
+
2
η
y
η
z
I
y
z
{\displaystyle I_{OQ}=\eta _{x}^{2}I_{xx}+\eta _{y}^{2}I_{yy}+\eta _{z}^{2}I_{zz}+2\eta _{x}\eta _{y}I_{xy}+2\eta _{x}\eta _{z}I_{xz}+2\eta _{y}\eta _{z}I_{yz}\,\!}
（7） 如果已經知道，剛體對於直角座標系的三個座標軸，
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
O
Q
{\displaystyle OQ}
因為慣性張量
I
{\displaystyle \mathbf {I} \,\!}
實值 的三階對稱矩陣 ，我們可以用對角線化，將慣量積變為零，使慣性張量成為一個對角矩陣 [ 2] 特徵值 必為正實數，而且三個特徵向量 必定互相正交 。
換另外一種方法，我們需要解析特徵方程式
I
ω
=
λ
ω
{\displaystyle \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}=\lambda \;{\boldsymbol {\omega }}\,\!}
（8） 也就是以下行列式 等於零的三次方程式 ：
det
(
I
−
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
λ
)
=
|
I
x
x
−
λ
I
x
y
I
x
z
I
y
x
I
y
y
−
λ
I
y
z
I
z
x
I
z
y
I
z
z
−
λ
|
=
0
{\displaystyle \det {(\mathbf {I} -\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\lambda )}={\begin{vmatrix}I_{xx}-\lambda &I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}-\lambda &I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}-\lambda \end{vmatrix}}\,\!=0}
。 這方程式的三個根
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}\,\!}
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}\,\!}
λ
3
{\displaystyle \lambda _{3}\,\!}
方向餘弦 方程式，
ω
x
2
+
ω
y
2
+
ω
z
2
=
1
{\displaystyle \omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2}=1\,\!}
我們可以求到特徵向量
ω
^
1
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\,\!}
ω
^
2
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\,\!}
ω
^
3
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{3}\,\!}
慣量主軸 ；而這些特徵值則分別是剛體對於慣量主軸的主轉動慣量 。
假設
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
x
{\displaystyle I_{x}\,\!}
I
y
{\displaystyle I_{y}\,\!}
I
z
{\displaystyle I_{z}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
L
=
(
I
x
ω
x
,
I
y
ω
y
,
I
z
ω
z
)
{\displaystyle \mathbf {L} =(I_{x}\omega _{x}\;,\;I_{y}\omega _{y}\;,\;I_{z}\omega _{z})\,\!}
剛體的動能
K
{\displaystyle K\,\!}
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
∫
v
2
d
m
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int \ v^{2}\ dm\,\!}
這裏，
v
¯
{\displaystyle {\bar {v}}\,\!}
v
{\displaystyle v\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
平移運動 的動能，第二個項目是剛體旋轉運動 的動能
K
′
{\displaystyle K\,\!'\,\!}
K
′
=
1
2
∫
(
ω
×
r
)
⋅
(
ω
×
r
)
d
m
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}\int \ ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}
這裏，
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
d
m
{\displaystyle dm\,\!}
應用向量恆等式 ，可以得到
K
′
=
1
2
ω
⋅
∫
r
×
(
ω
×
r
)
d
m
=
1
2
ω
⋅
L
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} \,\!}
或者，用矩陣來表達，
K
′
=
1
2
ω
T
I
ω
{\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\operatorname {T} }\ \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
所以，剛體的動能為
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
(
I
x
x
ω
x
2
+
I
y
y
ω
y
2
+
I
z
z
ω
z
2
+
2
I
x
y
ω
x
ω
y
+
2
I
x
z
ω
x
ω
z
+
2
I
y
z
ω
y
ω
z
)
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{xx}{\omega _{x}}^{2}+I_{yy}{\omega _{y}}^{2}+I_{zz}{\omega _{z}}^{2}+2I_{xy}\omega _{x}\omega _{y}+2I_{xz}\omega _{x}\omega _{z}+2I_{yz}\omega _{y}\omega _{z})\,\!}
（9） 假設
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
I
x
{\displaystyle I_{x}\,\!}
I
y
{\displaystyle I_{y}\,\!}
I
z
{\displaystyle I_{z}\,\!}
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
K
=
1
2
m
v
¯
2
+
1
2
(
I
x
ω
x
2
+
I
y
ω
y
2
+
I
z
ω
z
2
)
{\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{x}{\omega _{x}}^{2}+I_{y}{\omega _{y}}^{2}+I_{z}{\omega _{z}}^{2})\,\!}
（10） 
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ [(y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}]\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4765c7574ca62ab8599e34b3640457ac9bfceded)
![{\displaystyle I_{OQ}=\int \ [(\eta _{y}z-\eta _{z}y)^{2}+(\eta _{x}z-\eta _{z}x)^{2}+(\eta _{x}y-\eta _{y}x)^{2}]\ dm\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004d8b7865785dea30adfcb6c8e33b0a6f72d83c)
![{\displaystyle \det {(\mathbf {I} -\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\lambda )}={\begin{vmatrix}I_{xx}-\lambda &I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}-\lambda &I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}-\lambda \end{vmatrix}}\,\!=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bcc3aec9a85c1c783d6961e1c16eff0996ea0c)
