数学中,给出可测空间和其上的测度,可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于集合的笛卡儿积和两个拓扑空间的积拓扑。
设
和
是两个测度空间,就是说
和
分别是在
和
上的σ代数,又设
和
是其上的测度。以
记形如
的子集产生的笛卡儿积
上的σ代数,其中
及
。
积测度
定义为在可测空间
上唯一的测度,适合
![{\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0a4165c141bec76e67f9e443bf5db9abb5b82b)
对所有
。
事实上对所有可测集E,
,
其中
,
,两个都是可测集。
这测度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯尔莫哥洛夫定理.
欧几里得空间Rn上的博雷尔测度可得自n个实数轴R上的博雷尔测度的积。
參考文獻