3 中曲面
R 3 中一个参数曲面 S 的第二基本形式由高斯 引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，z = f (x ,y )，且平面 z = 0 与曲面在原点相切 。则 f 以及关于 x 和 y 的偏导数 在 (0,0) 皆为零。从而 f 在 (0,0) 处的泰勒展开 以二次项开始：
z
=
f
x
x
x
2
2
+
f
x
y
x
y
+
f
y
y
y
2
2
+
o
(
n
)
{\displaystyle z=f_{xx}{\frac {x^{2}}{2}}+f_{xy}xy+f_{yy}{\frac {y^{2}}{2}}+o(n)}
记
L
=
f
x
x
,
M
=
f
x
y
,
N
=
f
y
y
{\displaystyle L=f_{xx},M=f_{xy},N=f_{yy}}
x , y ) 坐标中原点处的第二基本形式是二次型：
L
d
x
2
+
2
M
d
x
d
y
+
N
d
y
2
.
{\displaystyle Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,}
对 参数曲面S 上一个光滑点 p ，总可以选取坐标系使得坐标的 z -平面与 S 切于 p ，然后可以相同的方式定义第二基本形式。
一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设 r =r (u ,v ) 是 R 3 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数 。通常记 r 关于 u 和 v 的偏导数为 r u 与 r v 。参数化的正则性意味着 r u 与 r v 对 r 的定义域中任何 (u ,v ) 是线性无关 的。等价地，叉积 r u × r v 是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场 n (u,v )：
n
=
r
u
×
r
v
|
r
u
×
r
v
|
.
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.}
第二基本形式通常写成
I
I
=
L
d
u
2
+
2
M
d
u
d
v
+
N
d
v
2
,
{\displaystyle \mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,}
在基 {r u , r v } 下的矩阵是
[
L
M
M
N
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}
在参数化 uv -平面上一个给定点处系数 L , M , N 由 r 在那个点的二次偏导数到 S 的法线上投影给出，利用点积 可计算如下：
L
=
r
u
u
⋅
n
,
M
=
r
u
v
⋅
n
,
N
=
r
v
v
⋅
n
.
{\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .}
一个通常曲面 S 的第二基本形式定义如下：设 r =r (u 1 ,u 2 ) 是 R 3 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 u α 的偏导数为 r α ，α = 1，2。参数化的正则性意味着 r 1 与 r 2 在 r 的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成 S 的切空间。等价地，叉积 r 1 × r 2 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场 n ：
n
=
r
1
×
r
2
|
r
1
×
r
2
|
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}}
第二基本形式通常写作
I
I
=
b
α
β
d
u
α
d
u
β
{\displaystyle \mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }}
上式使用了爱因斯坦求和约定 。
在参数 (u 1 , u 2 )-曲面给定点处系数 b αβ 由 r 的二次偏导数到 S 的法线的投影给出，利用点积可写成：
b
α
β
=
r
α
β
⋅
n
{\displaystyle b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n} }
在欧几里得空间 中，第二基本形式由
I
I
(
v
,
w
)
=
⟨
d
ν
(
v
)
,
w
⟩
{\displaystyle I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle }
给出，这里
ν
{\displaystyle \nu }
高斯映射 ，而
d
ν
{\displaystyle d\nu }
ν
{\displaystyle \nu }
微分 视为一个向量值微分形式 ，括号表示欧几里得空间的度量张量 。
更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子 （记作 S ）的等价方法，
I
I
(
v
,
w
)
=
⟨
S
(
v
)
,
w
⟩
=
−
⟨
∇
v
n
,
w
⟩
=
⟨
n
,
∇
v
w
⟩
,
{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle ,}
这里
∇
v
w
{\displaystyle \nabla _{v}w}
共变导数 ，n 超曲面上一个法向量场。如果仿射联络 是无挠 的，则第二基本形式是对称的。
第二基本形式的符号取决于 n 的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向 ）。
第二基本形式可以推广到任意餘維數 。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为
I
I
(
v
,
w
)
=
(
∇
v
w
)
⊥
,
{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },}
这里
(
∇
v
w
)
⊥
{\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}
共变导数
∇
v
w
{\displaystyle \nabla _{v}w}
在欧几里得空间 中，子流形 的曲率张量 可以描述为下列公式：
⟨
R
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
=
⟨
I
I
(
u
,
z
)
,
I
I
(
v
,
w
)
⟩
−
⟨
I
I
(
u
,
w
)
,
I
I
(
v
,
z
)
⟩
.
{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}
这叫做高斯方程 绝妙定理 的推广。在一个标准正交基 中第二基本形式的本征值 ，是曲面的主曲率 本征向量 称为主方向 。
对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果 N 是嵌入黎曼流形 (M ,g ) 中一个流形，则 N 在诱导度量下的曲率张量
R
N
{\displaystyle R_{N}}
M 的曲率张量
R
M
{\displaystyle R_{M}}
⟨
R
N
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
=
⟨
R
M
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
+
⟨
I
I
(
u
,
z
)
,
I
I
(
v
,
w
)
⟩
−
⟨
I
I
(
u
,
w
)
,
I
I
(
v
,
z
)
⟩
.
{\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}
Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7 Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325 Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1
