3 中曲面
R 3 中一個參數曲面 S 的第二基本形式由高斯 引入。最先假設曲面是兩次連續可微函數的像，z = f (x ,y )，且平面 z = 0 與曲面在原點相切 。則 f 以及關於 x 和 y 的偏導數 在 (0,0) 皆為零。從而 f 在 (0,0) 處的泰勒展開 以二次項開始：
z
=
f
x
x
x
2
2
+
f
x
y
x
y
+
f
y
y
y
2
2
+
o
(
n
)
{\displaystyle z=f_{xx}{\frac {x^{2}}{2}}+f_{xy}xy+f_{yy}{\frac {y^{2}}{2}}+o(n)}
記
L
=
f
x
x
,
M
=
f
x
y
,
N
=
f
y
y
{\displaystyle L=f_{xx},M=f_{xy},N=f_{yy}}
x , y ) 坐標中原點處的第二基本形式是二次型：
L
d
x
2
+
2
M
d
x
d
y
+
N
d
y
2
.
{\displaystyle Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,}
對 參數曲面S 上一個光滑點 p ，總可以選取坐標系使得坐標的 z -平面與 S 切於 p ，然後可以相同的方式定義第二基本形式。
一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設 r =r (u ,v ) 是 R 3 中一個正則參數曲面，這裏 r 是兩個變量的光滑向量值函數 。通常記 r 關於 u 和 v 的偏導數為 r u 與 r v 。參數化的正則性意味着 r u 與 r v 對 r 的定義域中任何 (u ,v ) 是線性無關 的。等價地，叉積 r u × r v 是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場 n (u,v )：
n
=
r
u
×
r
v
|
r
u
×
r
v
|
.
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.}
第二基本形式通常寫成
I
I
=
L
d
u
2
+
2
M
d
u
d
v
+
N
d
v
2
,
{\displaystyle \mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,}
在基 {r u , r v } 下的矩陣是
[
L
M
M
N
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}
在參數化 uv -平面上一個給定點處係數 L , M , N 由 r 在那個點的二次偏導數到 S 的法線上投影給出，利用點積 可計算如下：
L
=
r
u
u
⋅
n
,
M
=
r
u
v
⋅
n
,
N
=
r
v
v
⋅
n
.
{\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .}
一個通常曲面 S 的第二基本形式定義如下：設 r =r (u 1 ,u 2 ) 是 R 3 中一個正則參數曲面，這裏 r 是兩個變量的光滑向量值函數。通常記 r 關於 u α 的偏導數為 r α ，α = 1，2。參數化的正則性意味着 r 1 與 r 2 在 r 的定義域上是線性無關的，從而在每一點張成 S 的切空間。等價地，叉積 r 1 × r 2 是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場 n ：
n
=
r
1
×
r
2
|
r
1
×
r
2
|
{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}}
第二基本形式通常寫作
I
I
=
b
α
β
d
u
α
d
u
β
{\displaystyle \mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }}
上式使用了愛因斯坦求和約定 。
在參數 (u 1 , u 2 )-曲面給定點處係數 b αβ 由 r 的二次偏導數到 S 的法線的投影給出，利用點積可寫成：
b
α
β
=
r
α
β
⋅
n
{\displaystyle b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n} }
在歐幾里得空間 中，第二基本形式由
I
I
(
v
,
w
)
=
⟨
d
ν
(
v
)
,
w
⟩
{\displaystyle I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle }
給出，這裏
ν
{\displaystyle \nu }
高斯映射 ，而
d
ν
{\displaystyle d\nu }
ν
{\displaystyle \nu }
微分 視為一個向量值微分形式 ，括號表示歐幾里得空間的度量張量 。
更一般地，在一個黎曼流形上，第二基本形式是描述一個超曲面形算子 （記作 S ）的等價方法，
I
I
(
v
,
w
)
=
⟨
S
(
v
)
,
w
⟩
=
−
⟨
∇
v
n
,
w
⟩
=
⟨
n
,
∇
v
w
⟩
,
{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle ,}
這裏
∇
v
w
{\displaystyle \nabla _{v}w}
共變導數 ，n 超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡 是無撓 的，則第二基本形式是對稱的。
第二基本形式的符號取決於 n 的方向的選取。（這稱為曲面的余定向，對歐幾里得空間中的曲面，等價於給定曲面的一個定向 ）。
第二基本形式可以推廣到任意餘維數 。在這種情形下，它是切空間上取值於法叢的一個二次型，可以定義為
I
I
(
v
,
w
)
=
(
∇
v
w
)
⊥
,
{\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },}
這裏
(
∇
v
w
)
⊥
{\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}
共變導數
∇
v
w
{\displaystyle \nabla _{v}w}
在歐幾里得空間 中，子流形 的曲率張量 可以描述為下列公式：
⟨
R
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
=
⟨
I
I
(
u
,
z
)
,
I
I
(
v
,
w
)
⟩
−
⟨
I
I
(
u
,
w
)
,
I
I
(
v
,
z
)
⟩
.
{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}
這叫做高斯方程 絕妙定理 的推廣。在一個標準正交基 中第二基本形式的本徵值 ，是曲面的主曲率 本徵向量 稱為主方向 。
對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率；如果 N 是嵌入黎曼流形 (M ,g ) 中一個流形，則 N 在誘導度量下的曲率張量
R
N
{\displaystyle R_{N}}
M 的曲率張量
R
M
{\displaystyle R_{M}}
⟨
R
N
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
=
⟨
R
M
(
u
,
v
)
w
,
z
⟩
+
⟨
I
I
(
u
,
z
)
,
I
I
(
v
,
w
)
⟩
−
⟨
I
I
(
u
,
w
)
,
I
I
(
v
,
z
)
⟩
.
{\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}
Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7 Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325 Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1
