历史
皮埃爾·德·費馬
皮埃爾·德·費馬于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。
1736年,歐拉出版了一本名為“一些與素數有關的定理的證明”(拉丁文:Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”[2]的論文集,其中第一次给出了證明。但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。
有些數學家獨立提出相關的假說(有時也被錯誤地稱為中國猜想),當 成立時,p是質數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而,這一假說的前設是錯的:例如, ,而341=11×31是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。
卡邁克爾數
如上所述,中國猜想仅有一半是正确的。符合中國猜想但不是素数的数被称为伪素数。
更极端的反例是卡迈克尔数:
假設 與561互质,則 被561除都余1。这样的数被称为卡邁克爾數,561是最小的卡邁克爾数。Korselt在1899年就给出了卡邁克爾數的等价定义,但直到1910年才由卡邁克爾(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡邁克爾数:561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡邁克爾数有无穷多个。
证明
方法一
(i)若 是整数, 是质数,且 。若 不能整除 ,则 不能整除 。取整數集 为所有小於 的正整数集合( 构成 的完全剩余系,即 中不存在两个数同余 ), 是 中所有的元素乘以 组成的集合。因为 中的任何两个元素之差都不能被 整除,所以 中的任何两个元素之差也不能被 整除。
換句話說, ,考慮 共 個數,將它們分別除以 ,餘數分別為 ,則集合 為集合 的重新排列,即 在餘數中恰好各出現一次;這是因為對於任兩個相異 而言( ),其差不是 的倍數(所以不會有相同餘數),且任一個 亦不為 的倍數(所以餘數不為0)。因此
-
即
-
在这里 ,且 ,因此将整个公式除以 即得到:
- [3]
- 也即
(ii)若 整除 ,则显然有 整除 ,即 。
方法二
若 为质数, 为整数,且 。考慮二項式係數 ,並限定 不為 或 ,則由於分子有質數 ,但分母不含 ,故分子的 能保留,不被約分而除去,即 恆為 的倍數[4]。
再考慮 的二項式展開,模 ,則
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因此
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令 ,即得 。[3]
方法三
在抽象代数教科书中,费马小定理常作为教授拉格朗日定理时的一个简单例子[5]。显然只需考虑 情形。此时模 所有非零的余数,在同余意义下对乘法构成一个群,这个群的阶是 。考虑群中的任何一个元素 ,根据拉格朗日定理, 的阶必整除群的阶。证毕。
應用
- 計算 除以13的餘數
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故餘數為3。
- 證明對於任意整數a而言, 恆為2730的倍數。
- 易由 推得 ,其中 為正整數。
- 故對指數13操作如下:13減1為12,12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12,分別加1,為2, 3, 4, 5, 7, 13,其中2, 3, 5, 7, 13為質數,根據定理的延伸表達式, 為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數,即2*3*5*7*13=2730的倍數。
- 證明對於任意整數a而言, 恆為3300的倍數。
證明
- 為132的倍數。
- 模仿前述操作,11減1為10,10的正因數有1, 2, 5, 10,分別加1,為2, 3, 6, 11,其中2, 3, 11為質數,因此 為2, 3, 11的最小公倍數的倍數,即66的倍數。
- 考慮 ,因為奇數的11次方仍為奇數,且奇數與奇數之和為偶數,故當a為奇數時, 為偶數;同理可知當a為偶數時, 仍為偶數。因此當a為任意整數時, 為偶數。
- 因此 的倍數 的倍數 的倍數。
- 為25的倍數。
- 由後文的欧拉定理可知 (當a與25互質時),即 (當a為任意整數時)。因此 為25的倍數。
- 因此 為132與25的的最小公倍數的倍數,即3300的倍數。
推广
注释
参见
參考