拉格朗日定理 (群論)

拉格朗日定理群論中一個重要的結果,描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限的結構給出了很多線索。

定理陳述

拉格朗日定理[1] — 如果   是群   的子群[註 1],那麼   而如果   是有限群,那麼這個定理可以簡化成——   因數

證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質:

  1. 一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小[註 2]( Cardinality )[2]
  2. 一個子群的所有陪集分割[註 3]了整個群[3]
  3. 根據集合的特性,   的大小可以寫成是陪集的大小(   )乘上[註 4]陪集的數量(   )。

推論

  1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群   中每個元素的( Order )都會整除 (考慮由這個元素生成的循環群)。
  2. 如果  質數,那麽   同構於質數循環群   (因為質數沒有   和自身以外的因數[4]
  3. 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論[5]

逆命題

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。   的因數可能不是任何子群的階。例如交錯群    ,但它沒有任何階是   子群[6]。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明:具有特定形式的因數確實是某個子群的階;而如果  可解群的話,則西羅定理還可以進一步推廣成霍爾定理英语Hall subgroup#Hall's theorem

參見

註解

  1. ^ 沒有假設是有限群
  2. ^ 或稱——勢
  3. ^ 意思是每個群元素都位在剛好一個( exactly one )陪集之中
  4. ^ cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

引用

  1. ^ Hungerford 1974,第39頁,Corollary 4.6.
  2. ^ Hungerford 1974,第38頁,Theorem 4.2.
  3. ^ Hungerford 1974,第38頁,Corollary 4.3.
  4. ^ Gallian 2012,第149頁,Corollary 3.
  5. ^ Gallian 2012,第149頁,Corollary 5.
  6. ^ Gallian 2012,第149頁,Example 5.

參考文獻