里斯表示定理

泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理(英語:Riesz representation theorem),它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯

希尔伯特空间的表示定理

此定理說明希尔伯特空间連續線性泛函都可以表示成內積。

定理 是個複希尔伯特空间(也就是标量是複數),那對於任意連續線性泛函  ,存在唯一的   使得

 

證明的重點在於先證明 正交补  的一维子空间,然後取那个子空间中一个非零元素  ,設  

與狄拉克符號的關係

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據;也就是說,当機率幅   對每個任意態向量   都是連續的時候,可以視為每个左向量   (也就是表示躍遷到   狀態的機率幅的線性泛函)都有一个相应的右向量   來同時代表同一個純態   ,因為根據以上的表現定理,   就是    的內積。

里斯-马尔可夫表示定理

歷史

历史上,通常认为这个定理同时由里斯弗雷歇发现[1]

给定算子  ,(任何人)可以構造一個有界变差函数  ,使得,對任何连续函数   ,(任何人)有

 


Étant donnée l'opération   , on peut déterminer la fonction à variation bornée   , telle que, quelle que soit la fonction continue   , on ait

 .


— Riesz, 1909

支集為緊的連續函數空間

  意為由所有支集连续函数   所構成的函数空间。

定理 局部紧豪斯多夫空间 ,則對正线性泛函  ,存在一個含有所有  博雷爾集Σ-代数   ,且存在唯一的测度  使得[2]

 

且(以下的條件稱為正則的

  • 对所有  紧子集   
  •   ,則  
  •    ,則  
  •    的開集,則 

於無窮遠處消失的連續函數空間

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本:

   上所有在無窮遠處消失连续函数   所構成的函数空间。

定理 局部紧豪斯多夫空间。則對有界线性泛函  ,存在一個含有所有  博雷爾集Σ-代数   ,且存在唯一的正則测度  使得[2]

 

 范数 全变差(英語:total variation),即

 

最后, 的当且仅当测度   是非负的。

  上的有界线性泛函可唯一地延拓为  上有界线性泛函,因为后一个空间是前者的闭包。但是   上一个无界正线性泛函不能延拓为   上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献

  • M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
  • F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
  • F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
  • J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
  • P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
  • P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
  • D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
  • 埃里克·韦斯坦因. Riesz Representation Theorem. MathWorld. 
  • Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces. PlanetMath. 
  1. ^ Gray, J. D. The shaping of the riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis. Archive for History of Exact Sciences. 1983-08-15, (31): 127–187 [2023-02-13]. doi:10.1007/BF00348293. (原始内容存档于2023-07-31) –通过Springer. 
  2. ^ 2.0 2.1 Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGRAW-HILL. 1976. ISBN 978-0070542327.