里斯表示定理

在泛函分析中有多個有名的定理冠以里斯表示定理（英語：Riesz representation theorem），它們是為了紀念匈牙利數學家弗里傑什·里斯。

希爾伯特空間的表示定理

此定理說明希爾伯特空間的連續線性泛函都可以表示成內積。

定理：$H$是個複希爾伯特空間（也就是標量是複數），那對於任意連續線性泛函 $f:H\to \mathbb {C}$，存在唯一的 $v_{f}\in H$ 使得

$f(h)=\langle v_{f},\,h\rangle$

證明的重點在於先證明$f$ 的核的正交補是 $H$ 的一維子空間，然後取那個子空間中一個非零元素 $z$，設 $v_{f}={\frac {f(z)\cdot z}{{\|z\|}^{2}}}$。

與狄拉克符號的關係

這個定理也是量子力學中的狄拉克符號於數學上合理的依據；也就是說，當機率幅 $\langle \psi |\phi \rangle$ 對每個任意態向量 $|\phi \rangle$ 都是連續的時候，可以視為每個左向量 $\langle \psi |$ （也就是表示躍遷到 $\psi$ 狀態的機率幅的線性泛函）都有一個相應的右向量 $|\psi \rangle$ 來同時代表同一個純態 $\psi$ ，因為根據以上的表現定理， $\langle \psi |\phi \rangle$ 就是 $|\psi \rangle$ 和 $|\phi \rangle$ 的內積。

里斯-馬爾可夫表示定理

主條目：里斯-馬可夫-角谷表示定理

歷史

歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇發現

給定算子 $A[f]$，（任何人）可以構造一個有界變差函數 $\alpha (x)$，使得，對任何連續函數 $f(x)$ ，（任何人）有

$A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)$。

Étant donnée l'opération $A[f]$ , on peut déterminer la fonction à variation bornée $\alpha (x)$ , telle que, quelle que soit la fonction continue $f(x)$ , on ait

$A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)$.

— Riesz, 1909

支集為緊的連續函數空間

$C_{c}(X)$ 意為由所有支集為緊的連續函數 $f:X\to \mathbb {C}$ 所構成的函數空間。

定理： $X$ 是局部緊的豪斯多夫空間 ，則對正線性泛函 $\Lambda :C_{c}(X)\to \mathbb {R} ^{+}$，存在一個含有所有 $X$ 的博雷爾集的Σ-代數 ${\mathfrak {M}}$ ，且存在唯一的測度$\mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{-\infty ,\,\infty \}$ 使得

$\Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu$

且（以下的條件稱為正則的）

• 對所有 $X$ 的緊子集 $K\subseteq X$ ，$\mu (K)\in \mathbb {R}$。
• 若 $E\in {\mathfrak {M}}$ ，則 $\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\,U{\text{ is open}}\}$
• 若 $E\in {\mathfrak {M}}$ 且 $\mu (E)\in \mathbb {R}$ ，則 $\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\,K{\text{ is compact}}\}$
• 若$O$ 為 $X$ 的開集，則$\mu (O)=\sup\{\mu (K):K\subseteq O,\,K{\text{ is compact}}\}$

於無窮遠處消失的連續函數空間

里斯-馬爾可夫表示定理也有以下不同的版本：

設 $C_{0}(X)$ 為 $X$ 上所有在無窮遠處消失的連續函數 $f:X\to \mathbb {C}$ 所構成的函數空間。

定理：$X$ 是局部緊的豪斯多夫空間。則對有界線性泛函 $\Lambda :C_{0}(X)\to \mathbb {R}$，存在一個含有所有 $X$ 的博雷爾集的Σ-代數 ${\mathfrak {M}}$ ，且存在唯一的正則測度$\mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\,\infty \}$ 使得

$\Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu$

且 $\Lambda$ 的範數是 $\mu$ 的全變差（英語：total variation），即

$\|\Lambda \|=|\mu |(X).$

最後，$\Lambda$ 是正的當且僅當測度 $\mu$ 是非負的。

注：$C_{c}(X)$ 上的有界線性泛函可唯一地延拓為 $C_{0}(X)$上有界線性泛函，因為後一個空間是前者的閉包。但是 $C_{c}(X)$ 上一個無界正線性泛函不能延拓為 $C_{0}(X)$ 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論應用的情形稍微不同。

參考文獻

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
• 埃里克·韋斯坦因. Riesz Representation Theorem. MathWorld. 
• Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces. PlanetMath.