SL2(ℝ)
在数学中,特殊线性群 SL₂(ℝ) 是行列式为 1 的 2×2 实矩阵组成的群:
- ,且 .
与 SL₂(ℝ) 密切相关的是射影线性群 PSL₂(ℝ)。这是将 SL₂(ℝ) 中每个元素与它的负元素等同得到的商:
描述
SL2(ℝ) 是 ℝ2 上所有保持定向面积的线性变换群。它同构于辛群 Sp2(ℝ) 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。
商 PSL2(ℝ) 有多个有趣的描述:
- 它是实射影直线 上保持定向的射影变换群。
- 它是单位圆盘的共形自同构群。
- 它是双曲平面保持定向的等距群。
- 它是三维闵可夫斯基空间的限制洛伦兹群。等价地,它同构于不定正交群 SO+(1,2)。从而 SL2(ℝ) 同构于旋量群 Spin(2,1)+。
线性分式变换
PSL2(ℝ) 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 上:
这类似于 PSL2(ℂ) 通过莫比乌斯变换在黎曼球面上的作用。这是 PSL2(ℝ) 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界。
莫比乌斯变换
PSL2(ℝ) 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上:
- 这里
这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL2(ℝ) 是上半平面的共形自同构群。由黎曼映射定理,它也是单位圆盘的共形自同构群。
这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距,而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。
伴随表示
群 SL2(ℝ) 通过共轭作用在它的李代数 SL2(ℝ) 上,导致 PSL2(ℝ) 的一个忠实 3 维线性表示。这也可以描述为 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。结果是如下表示
sl2(ℝ) 上的基灵型有符号 (2,1),诱导了 PSL2(ℝ) 与洛伦兹群 SO+(2,1) 之间一个同构。PSL2(ℝ) 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL2(ℝ) 在双曲空间的双曲面模型上的等距。
元素的分类
从而
这导致了如下元素分类:
- 如果 | tr(A) | < 2,则 A 称为椭圆型。
- 如果 | tr(A) | = 2,则 A 称为抛物型。
- 如果 | tr(A) | > 2,则 A 称为双曲型。
椭圆型元素
椭圆型元素的本征值都是复数,是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转,相应的 PSL2(ℝ) 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。
模群的椭圆型元素的本征值一定为 {ω, 1/ω} 形式,其中 ω 是一个本原3次、4次、或6次单位根。他们是模群中所有有限阶元素,他们作用在环面上是周期性微分同胚。
抛物型元素
抛物型元素只有一个本征值,1 或者 -1。这样的元素作用在欧几里得平面上是错切映射,相应 PSL2(ℝ) 中元素作用在双曲平面上是极限旋转(limit rotation),在闵可夫斯基空间上的作用是零旋转。
模群的抛物型元素作用在环面上是德恩扭转(Dehn twist)。
双曲型元素
双曲型元素的本征值都是实数,互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射(squeeze mapping),相应的 PSL2(ℝ) 元素作用在双曲平面是平移,在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升。
模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚(Anosov diffeomorphism)。
拓扑和万有覆盖
做为一个拓扑空间,PSL2(R) 可以描述为双曲平面的单位切丛,这是一个圆丛,有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL2(R) 是 PSL2(R) 的二重覆盖,可以认为是双曲平面上的旋量丛。
SL2(R) 的基本群是无限循环群 ℤ。其万有覆盖群记做 ,是一个有限维李群但不是矩阵群。即 没有忠实有限维表示。
做为一个拓扑空间, 是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量,3-流形 成为瑟斯顿八几何之一。例如, 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 为模型的流形是可定向的,也是一个二维双曲轨形上的圆丛(一个塞弗特纤维空间(Seifert fiber space))。
代数结构
SL2(ℝ) 的中心是两个元素的群 {-1,1},商 PSL2(ℝ) 是单群。
PSL2(ℝ) 的离散子群称为富克斯群(Fuchsian group)。他们是欧几里得壁纸群(wallpaper group)和饰带群(Frieze group)的双曲类比。最有名的是模群 PSL2(ℤ),它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。
圆群SO(2)是 SL2(ℝ) 的一个极大紧子群,圆 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL2(ℝ) 的一个极大紧子群。
PSL2(ℝ) 的舒尔乘子(Schur multiplier)是 ℤ,万有中心扩张与万有覆盖群相同。
表示理论
SL2(ℝ) 是一个实非紧单李群,也是复李群 SL2(ℂ) 的分裂实形式。SL2(ℝ) 的李代数记做 sl2(ℝ),是所有迹为零的 2×2 实矩阵。 它是 VIII 型比安基代数。
SL2(ℝ) 的有限维表示理论等价于SU(2)的表示理论,这是 SL2(ℂ) 的紧实形式。特别地 SL2(ℝ) 没有非平凡有限维酉表示。
SL2(ℝ) 的无限维表示理论相当有意思。这个群有多类酉表示,这被盖尔范德、奈马克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 详细地解决了。
另见
- 线性群
- 特殊线性群
- 射影线性群(projective linear group)
- 双曲等距(hyperbolic isometry)
- 模群(modular group)
- 莫比乌斯变换
- 射影变换
- 富克斯群(Fuchsian group)
- 李群列表(Table of Lie groups)
参考文献
- V. Bargmann, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group,The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
- Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
- Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
- Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
- William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5