黎曼映射定理

數學中,黎曼映射定理複分析最深刻的定理之一,此定理分類了單連通開子集。

定理陳述

 為開圓盤, 單連通開子集。若 ,則存在一對一的全純映射 ,使 亦全純。換言之,   双全純同構

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射,它保持角度定向不變。

簡史

黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果,但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年發表了第一個完整證明。

注記

  • 黎曼映射定理乃是存在性定理,一般無法具體表示從  的全純映射。
  • 定理中對 的條件極寬鬆;舉例明之, 的邊界可能是碎形曲線,但 仍可透過共形映射映至單位圓盤,這在直觀上是很難想像的。
  • 此定理對 時即告失效:環型區域(形如 )之間的共形映射僅有反演縮放旋轉
  • 此定理在更高維度即不成立。
  • 黎曼曲面的框架下,此定理可推廣為單值化定理:單連通黎曼曲面必同構於  

证明概要

给定  ,我们希望构造一个函数 ,它把 映射到单位圆盘,把 映射到 。在这个证明概要中,我们假设 是有界的,且其边界是光滑的,就像黎曼所做的那样。记

 

其中 是某个(待确定的)全纯函数,其实数部分为 ,虚数部分为 。于是显然z0f的唯一一个零点。我们要求对于 的边界上的  ,因此我们需要在边界上有 。由于 是全纯函数的实数部分,我们知道 一定是一个调和函数,也就是说,它满足拉普拉斯方程

于是问题变为:存在某个实值调和函数 ,对所有的 都有定义,且具有给定的边界条件吗?狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在,全纯函数 柯西-黎曼方程便允许了我们求出 (这个论证依赖于 是单连通的假设)。一旦构造了  ,我们还需要验证所得到的函数 确实满足所有需要的性质。

文獻