五维正轴体

五维正轴体（Pentacross），又称正三十二超胞体（Triacontaditeron），是3个五维正多超胞体之一，是五维的正轴体，四维正十六胞体、三维正八面体、二维正方形的五维类比，由10个顶点、40条棱、80个正三角形面、80个正四面体胞、32个正五胞体超胞组成，施莱夫利符号{3,3,3,4}，顶点图为正十六胞体。同时，它也是考克斯特所归类的2₁₁多胞形。

五维正轴体 正三十二超胞体 （32-超胞） 5-正轴体
类型	五维凸正多胞体
家族	正轴体
维度	5
对偶多胞形	五维超正方体
类比	正八面体
识别
鲍尔斯缩写	tac
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号	{3,3,3,4} {33,4} {3,3,31,1} {3,3,4}+{} {3,4}+{4}
性质
四维胞	32 {3,3,3}
胞	80 (3.3.3)
面	80 {3}
边	40
顶点	10
特殊面或截面
皮特里多边形	十边形
组成与布局
顶点图	正十六胞体
对称性
对称群	BC5, [3,3,3,4]
特性
凸

几何性质

五维正轴体是五维超正方体的对偶，施莱夫利符号{3,3,3,4}意味着每个维脊（即面）处有4个正五胞体相交，顶点处都有16个正五胞体相交，顶点图是正十六胞体，每条棱处都有8个正五胞体相交，棱图是正八面体。对于边长为a的五维正轴体，其超胞积为${\frac {{\sqrt {2}}a^{5}}{30}}$，表胞积是${\frac {16a^{4}}{3}}$。

顶点坐标

以中心为原点建立四维直角坐标系，则以√2为棱长的正三十二超胞体顶点坐标为 (±1,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0), (0,0,±1,0,0), (0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,±1)

对称性及结构

五维正轴体作为五维的正轴形，与五维超正方体对偶，拥有BC₅（立方形-正轴形对称性），对应施莱夫利符号{3,3,3,4}，考斯特-迪肯符号。同时，它也可被看作是正五胞体反棱柱（即上下两正五胞体呈对偶式排列，再由正五胞体链接1个正五胞体的顶点和另一正五胞体的正四面体胞形成的棱柱），具有更低的对称性D₅，对应施莱夫利符号[3^2,1,1] 。如果我们把其对偶五维超立方体看做低对称性的五维超长方体的话，其亦可被看作是五维的长菱体，可能有多种不同对称性。

名称	考克斯特符号	施莱夫利符号	对称性	群阶	顶点图
正三十二超胞体		{3,3,3,4}	[3,3,3,4]	3840
交错五维正轴体		{3,3,31,1}	[3,3,31,1]	1920
五维长菱体
		{3,3,3,4}	[4,3,3,3]	3840
		{3,3,4}+{}	[4,3,3,2]	768
		{3,4}+{4}	[4,3,2,4]	384
		{3,4}+{}+{}	[4,3,2,2]	192
		{4}+{4}+{}	[4,2,4,2]	128
		{4}+{}+{}+{}	[4,2,2,2]	64
		{}+{}+{}+{}+{}	[2,2,2,2]	32

可视化

正三十二超胞体可以以不同角度平行投影到不同的考克斯特平面上：

正交投影

考克斯特平面	B5	B4 / D5	B3 / D4 / A2
图像
二面体对称群	[10]	[8]	[6]
考克斯特平面	B2	A3
图像
二面体对称群	[4]	[4]

这是正三十二超胞体五维到四维的施格莱尔投影的四维到三维的球极投影的三维到二维的透视投影。10对4条棱在球极投影中成为了10个圆，其中两个圆成为了直线，因为它们通过了投影的中心。

参考

• H.S.M. 考克斯特:
  • H.S.M. 考克斯特, Regular Polytopes, 第三版, Dover New York, 1973
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss参与编辑, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • (Paper 22) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. 考克斯特, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• 诺曼·约翰 Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W.约翰: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o4o - tac. bendwavy.org. 

外部链接

• Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.
• Polytopes of Various Dimensions（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Multi-dimensional Glossary（页面存档备份，存于互联网档案馆）

五维正多胞体
五维正六胞体	五维超正方体	五维正三十二胞体
{3,3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4}