内自同构

在抽象代数的群论中，内自同构（英语：Inner automorphism）是群的一种自同构。群内部的元素的共轭作用可以定义一个自同构，因而得名“内”自同构。

定义

设 $g$ 为群 $G$ 的一个元素，则 $g$ 对应的内自同构可以由如下的方程给出

$\iota _{g}:G\to G$

$x\mapsto gxg^{-1}$

该方程是 $G$ 的一个自同态，因为对任意 $x_{1},x_{2}\in G$ ，有

$\iota _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}gg^{-1}x_{2}g=(g^{-1}x_{1}g)(g^{-1}x_{2}g)=\iota _{g}(x_{1})\iota _{g}(x_{2})$

所有由 $G$ 的元素的共轭作用给出的自同构称为内自同构。

性质

若g在G的中心Z(G)内，则$\iota _{g}$是平凡的。因此阿贝尔群的内自同构都是平凡的。一般而言，$\iota _{g}$的不动点集，正是g的中心化子C_G(g)。

内自同构$\iota _{g}$的逆元是$\iota _{g}^{-1}=\iota _{g^{-1}}$。两个内自同构$\iota _{g},\iota _{h}$的复合是$\iota _{g}\circ \iota _{h}=\iota _{gh}$

由群的中心的基本性质可知，若Inn(G)是循环群，则Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G无中心，则G称为完备群。

若G是完满群且Inn(G)是单群，则G称为拟单群。

内自同构群

群 $G$ 的内自同构组成内自同构群 ${\text{Inn}}(G)$ 。内自同构群 ${\text{Inn}}(G)$ 与群 $G$ 对其中心 $Z(G)$ 的商群 $G/Z(G)$ 同构。

内自同构群 ${\text{Inn}}(G)$ 是 $G$ 的自同构群 ${\text{Out}}(G)$ 中的正规子群，其对应商群记为 ${\text{Out}}(G)={\text{Aut}}(G)/{\text{Inn}}(G)$ ，称为外自同构群。

上述关系可以用以下两个短正合列表示：

$1\to \mathrm {Z} (G)\to G\to \mathrm {Inn} (G)\to 1$

$1\to \mathrm {Inn} (G)\to \mathrm {Aut} (G)\to \mathrm {Out} (G)\to 1$

正规子群

群 $G$ 的子群 $H$ 是 $G$ 的正规子群若 $H$ 在 $G$ 的任一内自同构的作用下不变。这时 $G$ 的内自同构限制到 $H$ 上时是 $H$ 的一个自同构（未必是 $H$ 的内自同构），因而有群同态$G\to \mathrm {Aut} (H)$。这个群同态的核是 $H$ 在 $G$ 中的中心化子 $C_{G}(H)$ 。

对一般的子群H，可取其在G中的正规化子N_G(H)，则H是N_G(H)的正规子群，故有群同态$\mathrm {N} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)$，其核是C_G(H)。因此N_G(H)/C_G(H)可以嵌入到Aut(H)内，即

$\mathrm {N} _{G}(H)/\mathrm {C} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)$

是单射。

参考

• Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8  (chapter 7).