共轭类
数学上,特别是在群论中,群的元素可以分割成共轭类(英语:Conjugacy class);同一个共轭类的元素有很多共同的属性。非交换群的共轭类有很多关于该群的结构的重要特征。对于交换群,这个概念是平凡的,因为每个类就是一个单元素集合。
定义
对于群 中的元素 和 , 称为 关于 的共轭。类似地,对元素 和 ,如果存在元素 使得 ,可以称 和 共轭。
对由可逆矩阵构成的一般线性群 ,共轭的元素(矩阵)称为相似矩阵。
共轭是一种等价关系,因此可以 分割为等价类。(这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类,而类 和 相等当且仅当 和 共轭,否则不相交。)包含群 中元素 的等价类是
称为 的共轭类。 的类数是不同共轭类的个数。同一个共轭类中的元素的阶相同。
例子
- 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
- 对换 (abc -> acb,abc -> bac,abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
- 三阶轮换 (abc -> bca,abc -> cab)表示为(132) (123)
对称群 ,由4个元素的全部24个置换组成,有5个共轭类:
- 恒等
- 对换
- 三阶轮换
- 四阶轮换
- 双对换
参看立方体的恰当转动,它可以用体对角线的枚举刻划。
- 在 矩阵,在同一个共轭类的矩阵称为相似矩阵。
属性
- 单位元总是自成一类,也就是说 。
- 若 可交换,则 对于所有 和 属于 成立;所以 对于 属于 成立;可见这个概念对于交换群不是很有用。
共轭群作用
令 为群,对任意 ,定义 关于自身的群作用
- 。
在作用 上的轨道是其在群 中的共轭类。元素 的稳定子群等于该元素的中心化子。
类似地,我们可以令 作用在 的所有子集构成的集合,有
- 。
又或者是作用在 的子群构成的集合。
共轭类方程
若 为有限群,对 的任意元素 ,其共轭类中的元素可以与中心化子 的陪集一一对应。因为同一陪集的任意两元素 和 (存在 使得 )对 的共轭相同:
- 。
由于 在 上的轨道等于其共轭类,其稳定子群等于其中心化子,上述结论亦可以由轨道-稳定化子定理给出。
的共轭类的元素个数等于它的中心化子的指数 ,因而整除 的阶。
进一步的有,对于任何群 ,从 的每个元素个数大于 的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集 。则 是群的中心 以及 中所有元素的共轭类 的不交并集。由此可得群论中重要的类方程:
其中求和取遍对于每个 中的 的 。注意 是 的共轭类的元素个数。该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。
例子
考虑一个有限的 p-群 (即元素数目为 的群,其中 是一个素数且 )。我们将证明:每个有限p-群有非平凡的中心。
因为 的任意子群的指数必须整除 的次数,所以每个 等于 的一个幂 , 。类方程给出
由于 整除 和 , 必须整除 ,所以 。
子群和一般子集的共轭
更一般的来讲,给定任意G的子集S(S不必是子群),我们定义一个G的子集T为S的共轭,当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg−1。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。
一个常用的定理是,给定任意子集S,N(S)(S的正规化子)的指数等于Cl(S)的次数:
- |Cl(S)| = [G : N(S)]
这是因为,如果g和h属于G,则gSg−1 = hSh−1当且仅当gh −1属于N(S),换句话说,当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。
注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理(S = {a}的特殊情况)。
上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类,两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的,但是同构子群未必共轭(例如,交换群可以有两个不同的互相同构的子群,但是它们不可能共轭)。
作为群作用的共轭类
如果对于任意两个G中的元素g和x定义
- g.x = gxg−1
则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类,而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。
同样,我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下
- g.S = gSg−1。
参看
参考
- Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
- Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
- Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X