一般拓扑学与数学的相关领域中,给定集合上的一族函数,其初拓扑(initial topology)是使得这一族函数连续最粗糙拓扑。

子空间拓扑积拓扑都是初拓扑的特例。事实上,初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构称为终拓扑

定义

定义 —  集合,设有一集合族   与其指标集  

 

还有一族与之相对应的拓扑  

 
 

和一函数 

 
 

  上关于  初拓扑  ,定义为“对所有     -   连续”的最粗糙拓扑。

定理 —   是上述定义所说,   上关于   的初拓扑,取:

 

  拓扑基,且   就是由   所生成的拓扑。

证明
因为:
 

所以:

 

另外对于任意 ,和任意   有:

 

这样,因为   ,所以:

 

根据以上所述,   的确是   的拓扑基。

另外,对任意   上的拓扑   来说,“对所有     -   连续”等价于:

“对所有   ,和所有   

也就等价于:

 

这样根据拓扑基的性质(1)  就是   所生成的拓扑,至此本定理得证。 

上述拓扑基   里的元素通常被称为圆柱集合英语Cylinder setcylinder set)。

实例

性质

特征性质

给出任意拓扑空间 ,X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立:
  的映射 是连续的,当且仅当   是连续的。

Evaluation

从闭集分离点

 从闭集分离点,如果 中任意闭集 ,与任意不属于 的点  ,使得
 
这里的cl闭包算子

关于初拓扑有如下定理:
一族连续映射从闭集分离点,当且仅当the cylinder sets构成集合 的一个基。

从这个定理可以得到,如果 上有一族连续映射从闭集分离点,那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的,因为初拓扑是由 为子基生成的拓扑,在这个定理中要求the cylinder sets是集合 的一个基。

参考资料