哈沙德数

哈沙德数（Harshad number）是可以在某个固定的进位制中，被各位数字之和（数字和）整除的整数。

哈沙德数又称尼文数，是因为伊万·尼文在1997年一个有关数论的会议发表的论文。

若一个数无论在任何进位制中都是哈沙德数，称为全哈沙德数（全尼文数）。只有四个全哈沙德数：1, 2, 4, 6。（12在除八进制以外的进制中均为哈沙德数）

所有在零和进位制的底数之间的数都是哈沙德数。

除非是个位数，否则质数不是哈沙德数。

在十进制中，100以内的哈沙德数 A005349：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...

连续数个整数均为哈沙德数

Cooper和Kennedy在1993年证明了十进制里没有21个连续整数均是哈沙德数。^[1]^[2]他们亦找到了最小20个连续整数都是哈沙德数的数列，它们大于10^44363342786。

1994年，H.G. Grundman 扩展了Cooper和Kennedy的结果，表明n进制中有无限多组连续2n个整数为哈沙德数，但并无连续2n+1个整数为哈沙德数^[2]^[3]。1996年T. Cai 证明了以下的事实：在二进制存在无限多组连续四个整数为哈沙德数；在三进制存在无限多组六个整数为哈沙德数。^[2]

密度

设N(x)为小于或等于x哈沙德数的数目，对于任何给定的 ε > 0 ，Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon发现：

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}

De Koninck、Doyon和Katai证明：

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}

当 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

其他进制的哈沙德数

12进制:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200,...

多重哈沙德数

eg.6804是4重哈沙德数 6804/(6+8+0+4)=6804/18=378 378/(3+7+8)=378/18=21 21/(2+1)=21/3=7 7/7=1

  6804是4重哈沙德数

参考

H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275

^ Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E., On consecutive Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1993, 31 (2): 146–151 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, （原始内容存档 (PDF)于2015-09-24）
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II . Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
^ Grundman, H. G., Sequences of consecutive n-Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1994, 32 (2): 174–175 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, （原始内容存档 (PDF)于2015-09-24）

[1] Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E., On consecutive Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1993, 31 (2): 146–151 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, （原始内容存档 (PDF)于2015-09-24）

[HBII382-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II . Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

[3] Grundman, H. G., Sequences of consecutive n-Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1994, 32 (2): 174–175 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, （原始内容存档 (PDF)于2015-09-24）

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