塞弗特-范坎彭定理

代数拓扑中的塞弗特-范坎彭(Seifert–van Kampen)定理,将一个拓扑空间基本群,用覆盖这空间的两个道路连通的子空间的基本群来表示。

定理叙述

 为拓扑空间,有两个开且道路连通的子空间 覆盖 ,即 ,并且 是非空且道路连通。取 中的一点 为各空间的基本群的基点。那么从   包含映射导出相应基本群的群同态:(以下省略基本群中的基点。)

 
 

塞弗特-范坎彭定理指出 的基本群,是 的基本群的共合积

 

范畴论来说, 是在范畴中图表

 

推出

这定理可以推广至 的任意多个开子空间的覆盖: 设

  •  为道路连通拓扑空间,  的一点,
  •  由道路连通的开集组成,为 的开覆盖,
  • 任何一个 都有点 
  • 对任何 ,都有 ,使得 

 ,令

 

为由包含所导出的群同态。又令

 

为由 所导出的群同态。那么 有下述的泛性质

 为群,对所有 有群同态 ,使得若 ,则

 

那么存在唯一的群同态 ,使得对所有 ,都有

 

这个泛性质决定唯一的 。(不别群同构之异。)

参考

  • Massey, William. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 127. Springer-Verlag. 1991.