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已知最大素数

目前已知的最大素數

已知最大素数（截至2024年10月 (2024-10)）为2136,279,841 − 1，十进制时有41,024,320位数，由互联网梅森素数大搜索（GIMPS）的志愿者卢克 · 杜兰特（Luke Durant）于2024年发现。[1]

电子电脑发明后已知最大素数数位的按年图表，至2016年为止。垂直刻度为对数尺度，红线为曲线拟合：y = exp(0.187394 t − 360.527)，t为年份

质数，又名素数，是一个除1与自身之外没有其他约数的正整数。欧几里得定理说明素数没有上限，不少数学家与嗜好者故一直寻找大素数。

不少大素数为梅森素数，定义为2的幂减去1的正整数。截至2024年10月 (2024-10)，首七个已知大素数皆为梅森素数[2]。近十八次最大素数纪录皆为梅森素数[3][4]。所有梅森素数的二进制表示中，所有数字皆为1[5]。

卢卡斯-莱默检验法的快速傅里叶变换比起其他方式能更快速寻找到梅森素数。

现时纪录

截至2024年，已知最大素数为2136,279,841 − 1，共有41,024,320位数，由互联网梅森素数大搜索于2024年10月12日发现[1]。其数值为：

881694327503833265553939100378117358971207354509066041067156376412422630694756841441725990347723283108837509739959776874 ...

(省略41,024,080位)

... 852806517931459412567957568284228288124096109707961148305849349766085764170715060409404509622104665555076706219486871551

上面只显示首尾各120位数。[6]

奖金

互联网梅森素数大搜索现为下载其软件并成功寻找新梅森素数的参与者提供3,000美元奖金，该梅森素数的数位应少于一亿位。

电子前哨基金会亦为大素数的找寻设立了数个奖项[7]，互联网梅森素数大搜索亦有协调一亿数位以上的素数搜索，并与成功寻找者分享电子前哨基金会所提供的150,000元美金奖金。

1999年发现首个超过一百万数位的素数，并取得50,000美元奖金[8]。2008年发现了超过一千万数位的素数，并取得100,000美元奖金[7]。时代杂志称之为2008年第29名最佳发现[9]两项奖金皆为互联网梅森素数大搜索的参加者。电子前哨基金会现为首个一亿及十亿数位的素数提供奖金[7]。

已知最大素数历史

下表列出已知最大素数沿革，并按时序排列[3]。此处Mn = 2n − 1，为2的n次方。时间最长的纪录保持者为M19 = 524,287，为已知最大素数共计144年。1456年之前未存有关最大素数的纪录。

数字 数字展开
（仅限小于M5000的数字） 		数位 发现年份 发现者
M13 8,191 4 1456 佚名
M17 131,071 6 1588 伯多禄·卡塔迪
M19 524,287 6 1588 伯多禄·卡塔迪
  6,700,417 7 1732 莱昂哈德·欧拉
欧拉并未正式发表此数，但他于232 + 1的因式分解中已完成此素数的大部分证明过程，故部分专家认为欧拉知道此为素数[10]
M31 2147483647 10 1772 莱昂哈德·欧拉
  67,280,421,310,721 14 1855 汤马斯·克劳森（英语：Thomas Clausen (mathematician)）
M127 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727 39 1876 爱德华·卢卡斯
  20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921 44 1951 Aimé Ferrier
使用机械计算机发现，非使用电脑发现的最大素数
180×(M127)2+1 5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221 79 1951 J. C. P.米勒（英语：J. C. P. Miller）与大卫·惠勒（英语：David Wheeler (computer scientist)）[11]
使用剑桥大学（英语：University of Cambridge Mathematical Laboratory）的EDSAC电脑
M521 6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151 157 1952
M607 531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127 183 1952
M1279 104079321946...703168729087 386 1952
M2203 147597991521...686697771007 664 1952
M2281 446087557183...418132836351 687 1952
M3217 259117086013...362909315071 969 1957
M4423 285542542228...902608580607 1,332 1961
M9689 478220278805...826225754111 2,917 1963
M9941 346088282490...883789463551 2,993 1963
M11213 281411201369...087696392191 3,376 1963
M19937 431542479738...030968041471 6,002 1971
M21701 448679166119...353511882751 6,533 1978
M23209 402874115778...523779264511 6,987 1979
M44497 854509824303...961011228671 13,395 1979 854509824303...961011228671
M86243 536927995502...709433438207 25,962 1982 536927995502...709433438207
M132049 512740276269...455730061311 39,751 1983
M216091 746093103064...103815528447 65,050 1985
391581×2216193−1 148140632376...836387377151 65,087 1989 群组发现，包括约翰·布朗、蓝登·克特·诺尔（英语：Landon Curt Noll）、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、乔尔·史密夫、沙治奥[12][13]，为已知最大素数历史中最大的非梅森素数。
M756839 174135906820...328544677887 227,832 1992
M859433 129498125604...243500142591 258,716 1994
M1257787 412245773621...976089366527 378,632 1996
M1398269 814717564412...868451315711 420,921 1996 互联网梅森素数大搜索，乔尔·阿孟较得
M2976221 623340076248...743729201151 895,932 1997 互联网梅森素数大搜索，戈登·斯彭斯
M3021377 127411683030...973024694271 909,526 1998 互联网梅森素数大搜索，罗兰·克拉克森
M6972593 437075744127...142924193791 2,098,960 1999 互联网梅森素数大搜索，拿恩·哈拉华拉
M13466917 924947738006...470256259071 4,053,946 2001 互联网梅森素数大搜索，米高·卡梅伦
M20996011 125976895450...762855682047 6,320,430 2003 互联网梅森素数大搜索，米高·沙夫
M24036583 299410429404...882733969407 7,235,733 2004 互联网梅森素数大搜索，乔许·芬德利
M25964951 122164630061...280577077247 7,816,230 2005 互联网梅森素数大搜索，马田·诺或
M30402457 315416475618...411652943871 9,152,052 2005 互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀与史提夫·布恩
M32582657 124575026015...154053967871 9,808,358 2006 互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀与史提夫·布恩
M43112609 316470269330...166697152511 12,978,189 2008 互联网梅森素数大搜索，埃德森·史密夫
M57885161 581887266232...071724285951 17,425,170 2013 互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀
M74207281 300376418084...391086436351 22,338,618 2016 互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀
M77232917 467333183359...069762179071 23,249,425 2017 互联网梅森素数大搜索，强纳森·佩斯
M82589933 148894445742...325217902591 24,862,048 2018 互联网梅森素数大搜索，派翠克·拉罗次
M136279841 881694327503...219486871551 41,024,320 2024 互联网梅森素数大搜索，卢克·杜兰特

互联网梅森素数大搜索发现了近十五个最大素数纪录。

二十大已知素数

克里斯·科德韦尔设有一列表，内共有已知最大的五千个素数[14][15]，其中最大二十个列于下表。

排名 数字 发现日期 数位 种类 参考资料
1 2136279841 − 1 2024-10-12 41,024,320 梅森素数 [1]
2 282589933 − 1 2018-12-07 24,862,048 梅森素数 [16]
3 277232917 − 1 2017-12-26 23,249,425 梅森素数 [17]
4 274207281 − 1 2016-01-07 22,338,618 梅森素数 [18]
5 257885161 − 1 2013-01-25 17,425,170 梅森素数 [19]
6 243112609 − 1 2008-08-23 12,978,189 梅森素数 [20]
7 242643801 − 1 2009-06-04 12,837,064 梅森素数 [21]
8 Φ3(−5166931048576)
（5166932097152−5166931048576+1） 		2023-10-02 11,981,518 广义唯一素数 [22]
9 Φ3(−4658591048576)
（4658592097152−4658591048576+1） 		2023-05-31 11,887,192 广义唯一素数 [23]
10 237156667 − 1 2008-09-06 11,185,272 梅森素数 [20]
11 232582657 − 1 2006-09-04 9,808,358 梅森素数 [24]
12 10223 × 231172165 + 1 2016-10-31 9,383,761 普罗斯数 [25]
13 230402457 − 1 2005-12-15 9,152,052 梅森素数 [26]
14 4 × 511786358 + 1 2024-10-01 8,238,312 广义普洛斯数 [27]
15 225964951 − 1 2005-02-18 7,816,230 梅森素数 [28]
16 69 × 224612729 − 1 2024-08-13 7,409,102 [29]
17 224036583 − 1 2004-05-15 7,235,733 梅森素数 [30]
18 107347 × 223427517 − 1 2024-08-04 7,052,391 [31]
19 3 × 222103376 − 1 2024-09-30 6,653,780 塔别脱数 [32]
20 19637361048576 + 1 2022-09-24 6,598,776 广义费马数 [33]

参见

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2136,279,841-1. Mersenne Research, Inc. 21 October 2024 [21 October 2024]. 
  2. ^ Caldwell, Chris. The largest known primes - Database Search Output. Prime Pages. [2018-06-03]. （原始内容存档于2021-03-12）. 
  3. ^ 3.0 3.1 Caldwell, Chris. The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Prime Pages. [2016-01-20]. （原始内容存档于2013-08-19）. 
  4. ^ 最后一个非梅森素数为391,581 ⋅ 2216,193 − 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）；参见The Largest Known Prime by Year: A Brief History （页面存档备份，存于互联网档案馆），Caldwell着
  5. ^ Perfect Numbers. Penn State University. [2019-10-06]. （原始内容存档于2020-08-03）. An interesting side note is about the binary representations of those numbers... 
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  8. ^ Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
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  10. ^ C. Edward Sandifer. How Euler Did Even More. 2007-08-30: 43 [2020-07-30]. ISBN 0883855844. （原始内容存档于2020-08-04）. 
  11. ^ J. Miller（英语：J. C. P. Miller）, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).
  12. ^ Letters to the Editor （页面存档备份，存于互联网档案馆）. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed May 22, 2020.
  13. ^ Proof-code: Z （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Prime Pages（英语：Prime Pages）.
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  18. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. [2017-09-29]. （原始内容存档于2018-01-07）. 
  19. ^ GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2013-02-05 [2017-09-29]. （原始内容存档于2021-01-26）. 
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外部链接

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