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平行多面体

在几何学中，平行多面体是一种可以仅透过平移其副本就能使原始多面体与副本可以面与面重叠并完成空间填充的多面体，不同于一般的空间填充多面体，一般常见的空间填充多面体可能还要借由旋转或镜射才能面与面重叠。同时，平行多面体有相对面互相平行的特性。平行多面体共有5种类型，最早是由叶夫格拉夫·费奥多罗夫（英语：Evgraf_Fedorov）在他的晶体学系统研究中给出定义。[1]

平行多面体
五种拓朴类型的平行多面体
立方体
立方体 		六角柱
六角柱 		菱形十二面体
菱形十二面体
菱形六角化十二面体
菱形六角化十二面体 		截角八面体
截角八面体

平行多面体只能由平行四边形面、对边互相平行的六边形面或其他平行多边形面构成。平行多面体可以视为平行多边形在三维空间的类比。

分类

任何平行多面体都是环带多面体，也就是说，平行多面体都是具有中心对称面的中心对称多面体。与任何环带面体一样，平行多面体可以被构造为线段的闵可夫斯基和，每条线段对应于多面体的其中一组平行边。对平行多面体而言，这样的平行边共会有3至6组。每组平行边的边长皆可任意调整。更改某组平行边的边长只会延伸或缩小平行多面体的对应边，而不会改变平行多面体的拓朴组合类型或空间填充属性。而极端情况则是将具有超过三组平行边的平行多面体的其中一组平行边之边长调整为零，从而产生另一种少了一组平行边之更简单的平行多面体形式。[2]与所有环带面体一样，这些形状本身具有2 Ci中心反演对称性[1]，但透过选择产生适当的线段，可以产生额外的对称性。[3]

这五种类型的平行多面体分别是：

  • 平行六面体：
    由三组不完全平行于公共平面的线段构成。其最高对称性的形式是立方体，由三个互相垂直的单位长度线段产生。[1]这种类型之平行多面体对应的空间填充模型是立方体堆砌。
  • 六角柱：
    由四组线段组成。这四组线段中，其中有三组平行于某个公共面，另外一组不平行于该公共面。其最高对称性的形式是属于半正多面体的正六角柱，不仅底面要是正六边形，其侧面也要垂直于底面、高与底面边长相等。[1]这种类型之平行多面体对应的空间填充模型是六角柱堆砌。
  • 菱形十二面体：
    由四组线段组成。这四组线段中，不存在两组线段与公共面平行。其最高对称性的形式是由立方体的四个长对角线所产生的几何结构。[1]这种类型之平行多面体对应的空间填充模型是菱形十二面体堆砌。
  • 菱形六角化十二面体：
    由五组线段生成。这五组线段中，可以找到两组三个平行于某个公共面的线段（两组中有一条线段共用，故五组线段分成两组，每组三个）。这种类型的平行多面体可以透过使用立方体的一条边及其四个长对角线来生成。[1]这种类型之平行多面体对应的空间填充模型是菱形六角化十二面体堆砌。
  • 截角八面体：
    由六组线段生成。这六组线段中，存在四组每三个一组平行于某个公共面的线段（四组中有部分共用，故六组线段分成四组，每组三个）。其可以作为4-排列多面体（英语：Permutohedron）嵌入到四维空间中，其顶点为(1, 2, 3, 4)的排列。在三维空间中，这种类型之平行多面体最高的对称形式可生成于平行于立方体六个面之对角线的六个线段。[1]这种类型之平行多面体对应的空间填充模型是截角八面体堆砌。

任何面与这五种形状之一具有相同拓朴组合结构的环带多面体都是平行多面体，无论该环带多面体特定的角度或边长是多少，只要环带多面体满足上述条件就属于平行多面体。举例来说，平行多面体的任何仿射变换都会产生另一个相同类型的平行多面体。[1]

以边长上色的平行多面体
名称 立方体
（平行六面体） 		六角柱
延展立方体 		菱形十二面体 菱形六角化十二面体
延展菱形十二面体 		截角八面体
图像          
生成的边组数 3 4 4 5 6
边特性 3组边等长 3+1组边等长 4组边等长 4+1组边等长 6组边等长
环带 43 43, 61 64 64, 41 66
顶点数 8 12 14 18 24
边数 12 18 24 28 36
面数 6 8 12 12 14
密铺          
密铺的考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram） 立方体堆砌
       
            		六角柱堆砌
          		菱形十二面体堆砌
      		菱形六角化十二面体堆砌 截角八面体堆砌
       

平行多胞体

在几何学中，平行多胞体是一种可以仅透过平移其副本就能使原始几何结构与副本几何结构可以维面与维面重叠，并填满该种己呵结构所在的空间为杜之空间的多胞形。例如四维的平行多胞体即可以仅透过平移来使几何结构可以三维胞与三维胞重叠。平行多胞体可以视为平行多边形以及平行多面体在四维或以上维度空间的类比。

在四维空间种共存在52种不同种类的平行多胞体[4][5]。

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Alexandrov, A. D. 8.1 Parallelohedra. Convex Polyhedra. Springer. 2005: 349–359. 
  2. ^ Dienst, Thilo. Fedorov's five parallelohedra in R3. University of Dortmund. （原始内容存档于2016-03-04）. 
  3. ^ Tutton, A. E. H. Crystallography and Practical Crystal Measurement, Vol. I: Form and Structure. Macmillan. 1922: 567. 
  4. ^ B. K. Vainshtein, I. Hargittai. Crystal Symmetries: Shubnikov Centennial Papers. ISSN. Elsevier Science. 2017 [2018-10-07]. ISBN 9781483299105. （原始内容存档于2023-12-14）. 
  5. ^ Michel Deza, Viacheslav Grishukhin. Once more about the 52 four-dimensional parallelotopes. 2003 [2018-10-07]. （原始内容存档于2018-10-07）. 
  1. The facts on file: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, p. 117
  2. Coxeter, H. S. M. Regular polytopes (book), 3rd ed. New York: Dover, pp. 29–30, p. 257, 1973.
  3. Tutton, A. E. H. Crystallography and Practical Crystal Measurement, 2nd ed. London: Lubrecht & Cramer, 1964.
  4. 埃里克·韦斯坦因. Primary parallelohedron. MathWorld. 
  5. 埃里克·韦斯坦因. Space-filling polyhedron. MathWorld. 
  6. E. S. Fedorov, Nachala Ucheniya o Figurah. [In Russian] (Elements of the theory of figures) Notices Imper. Petersburg Mineralog. Soc., 2nd ser.,24(1885), 1 – 279. Republished by the Acad. Sci. USSR, Moscow 1953.
  7. Fedorov's five parallelohedra in R³
  8. Fedorov's Five Parallelohedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
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