数学原本

数学原本》(法语:Éléments de mathématique)是布尔巴基小组编写的数学丛书,署名N. Bourbaki,共十一卷,每卷分作多章。开首数卷由埃尔曼出版社(Éditions Hermann)1940年开始出版,初时以分册发行,后来出合订本。因为与出版商意见不合,1970年代起改由CCLS(Centre commercial du livre specialisé)出版,1980年代起由马松出版社(Éditions Masson)出版。2006年起,施普林格出版社重新印行所有分册。2016年出版全新的一卷,是将近50年来首次新增书卷。2023年有新增的3章出版。

《数学原本》埃尔曼出版社1970年新版第1卷

《数学原本》丛书的一群作者特意用单数的mathématique命名丛书,不用正常的复数mathématiques,是想表达出数学是统一的整体。[1]与此相对,同一群作者所编写的另一本书Éléments d'histoire des mathématiques(数学史大要),使用了复数,以示在布尔巴基之前,数学是多个分散的学科的集合,靠着现代的数学结构概念,使这些学科能够统一。[2]

布尔巴基小组原本计划编写一本分析学教材,以代替当时法国过时的分析学教材,最初用《分析论》(Traité d'analyse)为暂时书名,后来计划范围扩大至涵盖数学的各分支领域,书名亦改为现名。丛书的第一部分有六卷,依从严格的逻辑顺序,并有统一的副标题《分析的基本结构》;第二部分是关于比较现代的领域,这部分各卷都依靠于首六卷为基础,但不依靠同部分的其他卷,也没有统一的标题。[1]每一卷可以合作一册或分为数册出版。

尽管范畴论已成为现代数学的基础,但在《数学原本》开始编写时尚未出现,后来也没有补回,因此《数学原本》不能使用范畴的语言。在最新一卷《代数拓扑》首次提到范畴,但甚为简略,仅给出范畴和函子的定义,用作定义广群,并无建立范畴论。在《谱理论》卷新出版的两本分册中,预告了正在准备《范畴论》等三卷。

本丛书有大部分已译为英文、俄文和日文,截至2023年未有中文译本。

丛书目录

第一部分:分析的基本结构(Les Structures fondamentales de l'analyse)

  • 卷I:集合论(Théorie des Ensembles),记为E,4章:
  1. 形式数学的描述
  2. 集合论
  3. 有序集基数整数
  4. 结构
结果概述
  • 卷II:代数(Algèbre),记为A,10章:
  1. 代数结构
  2. 线性代数
  3. 张量代数外代数对称代数
  4. 多项式有理分式
  5. 交换域
  6. 有序群有序域
  7. 主理想整环上的
  8. 半单模半单环
  9. 半双线性型二次型
  10. 同调代数
  1. 拓扑结构
  2. 一致结构
  3. 拓扑群
  4. 实数
  5. 单参数群
  6. 数空间和射影空间
  7. 加法群Rn
  8. 复数
  9. 实数在一般拓扑学中的使用
  10. 函数空间
结果概述
  • 卷IV:单实变函数(Fonctions d'une variable réelle),记为FVR,7章:
  1. 导数
  2. 原函数积分
  3. 初等函数
  4. 微分方程
  5. 函数的局部研究
  6. 广义泰勒发展欧拉-麦克劳林求和公式
  7. 伽马函数
字典
  1. 赋值域上的拓扑向量空间
  2. 凸集局部凸空间
  3. 连续线性映射的空间
  4. 拓扑向量空间中的对偶性
  5. 希尔伯特空间(初等理论)
字典
结果概述
  • 卷VI:积分(Intégration),记为INT,9章:
  1. 凸不等式
  2. 里斯空间
  3. 局部紧空间测度
  4. 测度的扩张和Lp空间
  5. 测度的积分
  6. 向量积分
  7. 哈尔测度
  8. 卷积表示
  9. 豪斯多夫拓扑空间上的积分

第二部分

  • 交换代数(Algèbre commutative),记为AC,10章:
  1. 平坦模
  2. 局部化
  3. 分次滤过拓扑
  4. 相伴素理想准素分解
  5. 整元
  6. 赋值
  7. 除子
  8. 维数
  9. 完全诺特局部环
  10. 深度正则性对偶性
结果概述
  1. 李代数
  2. 自由李代数
  3. 李群
  4. 考克斯特群蒂茨系统
  5. 由反射生成的群
  6. 根系
  7. 嘉当子代数正则元
  8. 分裂半单李代数
  9. 紧实李群
  • 谱理论(Théories spectrales),记为TS,5章:
  1. 赋范代数
  2. 局部紧交换群
  3. 紧算子和扰动
  4. 希尔伯特谱理论
  5. 酉表示
  • 代数拓扑(Topologie algébrique),记为TA,4章:
  1. 覆叠
  2. 广群
  3. 同伦庞加莱广群
  4. 闭路可去(délaçable)空间

在内文中以简写引用的待出版卷(未公开全名):

数学史大要(Éléments d'histoire des mathématiques)

本书将《数学原本》各卷中的历史注记汇集成一卷。

各卷间依赖关系

在首六卷中,每道命题只假定已知道在同一章中已经讨论的结果,或在其前各章的结果,按照下列顺序:

  1. 集合论
  2. 代数第1至3章
  3. 一般拓扑学第1至3章
  4. 代数第4章起
  5. 一般拓扑学第4章起
  6. 单实变函数
  7. 拓扑向量空间
  8. 积分

其后各卷假定有首六卷的知识,与丛书其他卷的关系在开首指出。

计划演变

《数学原本》丛书第一本出版在1939年,是《集合论》卷的《结果概述》(Fascicule de résultats)。之后出版的分册并非依照丛书顺序。丛书出版历程时断时续,至今仍未完成。

丛书的初稿可以在网上下载。[3]丛书中很多书籍绝版多年,但是施普林格出版社从2006年开始,重新印行了各本书籍。近期的新作,有1998年出版《交换代数》卷第10章,2012年出版《代数》卷的第8章重新编写扩充的第二版,2016年出版新卷《代数拓扑》的首4章。这新的一卷原本计划作为《一般拓扑学》卷的第11章。2019年出版全面修订的《谱理论》卷第1至2章第二版,2023年出版新编写的《谱理论》第3至5章。

各卷出版年份

以下是丛书各卷的分册的初版和改版的年份。有些分册最初再分作几小册出版,后来才合为一册,因此出版年份是一段时期。

  • 卷I《集合论》:1939年—1957年
  • 卷II《代数》:1942年—2012年
第1至3章:1942年—1948年
第4至7章:1950年—1952年
第8章:1958年第一版,2012年第二版
第9章:1959年
第10章:1980年
  • 卷III《一般拓扑学》:1940年—1953年
第1至4章:1940年—1942年
第5至10章:1947年—1949年
结果概述:1953年
  • 卷IV《单实变函数》:1949年—1951年
  • 卷V《拓扑向量空间》:1953年—1955年
第1至5章:1953年—1955年
结果概述:1955年
  • 卷VI《积分》:1952年—1969年
第1至4章:1952年第一版,1965年第二版
第5章:1956年第一版,1967年第二版
第6章:1959年
第7及8章:1963年
第9章:1969年
  • 《李群及李代数》:1960年—1982年
第1章:1960年第一版,1971年第二版
第2及3章:1972年
第4至6章:1968年第一版,1981年第二版
第7及8章:1969年第一版,1975年第二版
第9章:1982年
  • 《交换代数》:1961年—1998年
第1至4章:1961年
第5至7章:1964年—1965年
第8及9章:1983年
第10章:1998年
  • 《谱理论》:1967年—2023年
第1及2章:1967年第一版,2019年第二版
第3至5章:2023年
  • 《微分及解析流形》:1967年—1971年
  • 《代数拓扑》:2016年

参考

引用

  1. ^ 1.0 1.1 Mashaal (2006) p. 55
  2. ^ Mashaal (2006) p. 56
  3. ^ Archives de l'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki. [2015-01-19]. (原始内容存档于2020-02-06). 

书籍