日出方程式

日出方程式和随后的那些分程式，可以计算出太阳在不同的赤纬时，地球各地不同纬度的日出和日落时间之精确地方时：

一个利用日出方程式，以北纬40度（大约是纽约、北京的位置）作为基准之全年日照图表。

$\cos \omega _{o}=-\operatorname {tan} (\phi )\times \operatorname {tan} (\delta )$

此处：

$\,\!\omega _{o}$是日出（当数值为负数时）或日落（当数值为正值时）时，以度为单位的时角；

$\,\!\phi$是在地球上观测者的纬度；

$\,\!\delta$ 是太阳的赤纬。

方程式的理论

地球自转的角速度是 15°/小时，因此$\,\!\omega _{o}/15^{o}$给了日出时间与当地正午之前相隔的小时数，或是日落时间与当地正午之后相隔的小时数。“当地正午”这个专有名词（术语）在这里的含意是太阳精确的位于正南方、正北方或正头顶上位置的时刻。

在国际的协定上，当在赤道时$\,\!\phi$的值是0，在北半球是正值，在南半球是负值。当春分或秋分，太阳正好在赤道上空时，$\,\!\delta$是0，在北半球的夏天是正值，而在北半球的冬天是负值。

需要注意的是，上面的方程式只适用于有日出和日落的地区，也就是在北半球的夏天时，$\,\!-90^{o}+\delta <\phi <90^{o}-\delta$；和在北半球的冬天，$\,\!-90^{o}-\delta <\phi <90^{o}+\delta$的地区，在这个纬度范围之外的地区，不是24小时白天的永昼，就是24小时夜晚的永夜。

方程式的改进

同时要注意的还有，上面的方程式忽略了大气折射的影响（当太阳在地平面时会被抬升约0.6°），和太阳盘面的大小（大约0.5°）。在天文历书上，通常使用下面的方程式来修正这两项因素影响，重新设置日出和日落的时刻：

$\cos(\omega _{o})={\dfrac {\sin(a)-\sin(\phi )\times \sin(\delta )}{\cos(\phi )\times \cos(\delta )}}$

太阳盘面中心点的高度 (a)大约在地平面下-0.85° （或-51弧分）。

在地球上完整的计算

一般化的方程式在本身需要的计算之前，先要计算许多其它的变数。这些方程式中有全部的太阳-地球常数，都以角度形式的常数被置入。

计算现在的儒略周期

$n^{\star }=J_{date}-2451545-0.0009-{\dfrac {l_{w}}{360}}$

$n=round(n^{\star }){\dfrac {}{}}$

此处：

J_date是儒略日期；

l_w是观测者在地球上的西经度数（西经是负值、东经是正值）；

n是以2000年1月1日为基准(0)的儒略世纪数。

大约的太阳正午

$J^{\star }=2451545+0.0009+{\dfrac {l_{w}}{360}}+n$

此处：

$J^{\star }$是在地面经度l_w的太阳正午大约时刻。

太阳的平近点角

$M=[357.5291+0.98560028\times (J^{\star }-2451545)]\mod 360$

此处：

M是太阳的平近点角。

中心差

$C=1.9148\times \sin(M)+0.0200\times \sin(2M)+0.0003\times \sin(3M){\dfrac {}{}}$

此处：

C是中心差。

黄经

$\lambda =(M+102.9372+C+180)\mod 360$

此处：

λ是黄经。

过中天

$J_{transit}=J^{\star }+(0.0053\times \sin(M))-(0.0069\times \sin(2\lambda ))$

此处：

J_transit是太阳过中天（太阳正午）的恒星时。

太阳的赤纬

$\delta =\sin ^{-1}(\sin(\lambda )\times \sin(23.45)){\dfrac {}{}}$

此处：

δ是太阳的赤纬。

时角

这时来自上面修正太阳盘面的方程式。

$\omega _{o}=\cos ^{-1}\left({\dfrac {\sin(-0.83)-\sin(\phi )\times \sin(\delta )}{\cos(\phi )\times \cos(\delta )}}\right)$

此处：

ω_o是时角；

$\phi$是观测者在地球上的纬度（北纬是正值、南纬是负值）。

这是修正太阳盘面的主要方程式

日出和日落的计算

$J_{set}=2451545+0.0009+\left({\dfrac {\omega _{o}+l_{w}}{360}}+n+0.0053\,\sin M\right)-0.0069\,\sin 2\lambda$

$J_{rise}=J_{transit}-(J_{set}-J_{transit}){\dfrac {}{}}$

此处：

J_set是日落的正确儒略日；

J_rise是日出的正确儒略日。

相关条目

• 日出
• 日落
• 日长

外部链接

• Sunrise, sunset, or sun position for any location （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 日出方程式-基本式推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆）