正扭歪无限面体
在几何学中，正扭歪[1][2]无限面体（英语：Regular skew apeirohedron），又称扭歪正多面体（日语：ねじれ正多面体）[注 1]是一种顶点并非全部共面的正无限面体，即每个面都全等、每个角也相等的扭歪无限面体。通常扭歪无限面体会具有正扭歪的面或扭歪的顶点图。
历史
关于考克斯特，1926年时，约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形（非平面多边形）的概念推广到四维空间的扭歪多面体和三维空间的扭歪无限面体。
考克斯特找到了三种形式，他们具有平的面和扭歪的顶点图，两者彼此互补。它们都可以用施莱夫利符号的扩展符号{l,m|n}来表示。这个扩展符号{l,m|n}表示每个顶点都是 个正 边形的公共顶点，且存在正 边形的空洞。
若一扭歪无限面体是一个正扭歪无限面体，则其施莱夫利符号存在下列等式：
- 2 sin(π/l) · sin(π/m) = cos(π/n)
三维空间的正扭歪无限面体
三维空间中有三种扭歪无限面体，分别为四角六片四角孔扭歪无限面体、六角四片四角孔扭歪无限面体和六角六片三角孔扭歪无限面体。约翰·康威将他们称为多立方体（英语：Mucube）、多八面体（英语：Muoctahedron）和、多四面体（英语：Mutetrahedron），英文中的字首mu-表示“多”（英语：multiple）的意思，其意义分别代表“很多立方体”、“很多八面体”以及“很多四面体”[3]。
- 四角六片四角孔扭歪无限面体（多立方体、英语：Mucube）：{4,6|4}：每个顶点都是六个正方形的公共顶点
- 六角四片四角孔扭歪无限面体（多八面体、英语：Muoctahedron）：{6,4|4}：每个顶点都是四个六边形的公共顶点
- 六角六片三角孔扭歪无限面体（多四面体、英语：Mutetrahedron）：{6,6|3}：每个顶点都是六个六边形的公共顶点
考克斯特给予这些 {2q,2r|p} 形式的扭歪无限面体与抽象群 (2q,2r|2,p) 同构的[[(p,q,p,r)]+的手征对称性。与之相关的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的扩展对称性[4]。
| 考克斯特群 对称性 |
无限面体 {p,q|l} |
图像 | 面 {p} |
洞 {l} |
顶点图 | 相关堆砌 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
   [[4,3,4]] [[4,3,4]+] |
{4,6|4} 四角六片四角孔 扭歪无限面体 多立方体 |
 动画 |
 |
|
扭歪六边形 （黄色部分） |
 t0,3{4,3,4} |
|
| {6,4|4} 六角四片四角孔 扭歪无限面体 多八面体 |
 动画 |
 |
扭歪四边形 （绿色部分） |
 2t{4,3,4} |
| ||
 [[3[4]]] [[3[4]]+] |
{6,6|3} 六角六片三角孔 扭歪无限面体 多四面体 |
 动画 |
 |
 |
扭歪六边形 （绿色部分） |
q{4,3,4} |
|
三维双曲空间的正扭歪无限面体
1967年时，C. W. L. Garner以类似于在欧式三维空间寻找正扭歪无限面体的方式，发现了31种双曲空间中具有扭歪多边形顶点图的正扭歪无限面体[5]。
14种紧空间正扭歪无限面体
| 考克斯特群 | 无限面体 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 顶点图 | 无限面体 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 顶点图 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 [3,5,3] |
{10,4|3} |  |
|
2t{3,5,3} |
 |
{4,10|3} | |
|
t0,3{3,5,3} |
| |
 [5,3,5] |
{6,4|5} | |
 |
2t{5,3,5} |
 |
{4,6|5} | |
|
t0,3{5,3,5} |
| |
 [(4,3,3,3)] |
{8,6|3} | |
|
ct{(4,3,3,3)} |
 |
{6,8|3} | |
|
ct{(3,3,4,3)} |
| |
| [(5,3,3,3)] |
{10,6|3} | |
|
ct{(5,3,3,3)} |
 |
{6,10|3} | |
|
ct{(3,3,5,3)} |
| |
| [(4,3,4,3)] |
{8,8|3} | |
|
ct{(4,3,4,3)} |
 |
{6,6|4} | |
|
  ct{(3,4,3,4)} |
| |
| [(5,3,4,3)] |
{8,10|3} | |
|
ct{(4,3,5,3)} |
 |
{10,8|3} | |
|
ct{(5,3,4,3)} |
| |
| [(5,3,5,3)] |
{10,10|3} | |
|
ct{(5,3,5,3)} |
 |
{6,6|5} | |
|
ct{(3,5,3,5)} |
|
17种仿紧空间正扭歪无限面体
| 考克斯特群 | 无限面体 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 顶点图 | 无限面体 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 顶点图 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [4,4,4] |
{8,4|4} | |
|
2t{4,4,4} |
 |
{4,8|4} | |
|
t0,3{4,4,4} |
| |
 [3,6,3] |
{12,4|3} |  |
|
2t{3,6,3} |
 |
{4,12|3} | |
|
t0,3{3,6,3} |
| |
 [6,3,6] |
{6,4|6} | |
|
2t{6,3,6} |
 |
{4,6|6} | |
|
t0,3{6,3,6} |
| |
| [(4,4,4,3)] |
{8,6|4} | |
|
ct{(4,4,3,4)} |
 |
{6,8|4} | |
|
ct{(3,4,4,4)} |
| |
| [(4,4,4,4)] |
{8,8|4} | |
|
q{4,4,4} |
| ||||||
 [(6,3,3,3)] |
{12,6|3} | |
|
ct{(6,3,3,3)} |
 |
{6,12|3} | |
|
ct{(3,3,6,3)} |
| |
| [(6,3,4,3)] |
{12,8|3} | |
|
ct{(6,3,4,3)} |
 |
{8,12|3} | |
|
ct{(4,3,6,3)} |
| |
| [(6,3,5,3)] |
{12,10|3} | |
|
ct{(6,3,5,3)} |
 |
{10,12|3} | |
|
ct{(5,3,6,3)} |
| |
| [(6,3,6,3)] |
{12,12|3} | |
|
ct{(6,3,6,3)} |
 |
{6,6|6} | |
|
ct{(3,6,3,6)} |
|
参见
注释
- ^ 对于此主题（无限多个面的扭歪多面体），将之称为“扭歪正多面体”可能会有歧义，因为非无限多面的扭歪多面体也可能是正多面体，例如正多面体#皮特里对偶。
参考文献
- ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容存档于2020-11-19）.
- ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. （原始内容存档于2013-07-20）.
- ^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
- ^ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)
- ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.