理想类群

理想类群(英语:Ideal class group)是代数数论的基本对象之一,简称类群

一个代数数域K的理想类群是形如 JK /PK商群; 此处JK 是代数数域K整数环的所有分式理想构成的; 而PK是这个群的子群,包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。
理想类群在一定程度上可以测量K整数环算术基本定理(唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时,代数数域K整数环才是唯一分解整环。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。

形式定义

 戴德金整环。此时   中的非零理想对乘法构成一个交换幺半群

今将定义其上的等价关系:设   为二非零理想,定义

 

理想幺半群对此关系的商构成一个交换群  ,称为   的理想类群。

另一套进路是考虑   的非零分式理想构成之交换群,再考虑它对主分式理想   之商,由此得到的对象自然同构于理想类群。

性质

  • 理想类群为平凡群的充要条件是该戴德金整环为主理想环
  •   为数域,  为其中的代数整数环,因而是戴德金整环。此时可证明   是有限群。其元素个数记为  ,称作类数。

例子

考虑二次域  。考虑理想

 

易证此非主理想,因此理想类群非零。事实上,其理想类群是二阶循环群