罗伊恒等式

罗伊恒等式（Roy's identity）是微观经济学中的一项重要结果，在生产者理论和消费者理论中都有应用。

具体表述

设消费者的间接效用函数为$v(\mathbf {p} ,w)$，则商品$i$的马歇尔需求函数即为

$x_{i}^{m}=-{\frac {\partial v/\partial p_{i}}{\partial v/\partial w}}$，

其中$\mathbf {p}$为各商品的价格向量，$w$为收入。

证明

根据定义，间接效用函数满足约束条件$\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} =w$下的最大值$v(\mathbf {p} ,w)=\max _{\mathbf {x} }u(\mathbf {x} )$。因此由带约束的包络定理立即得到

${\frac {\partial v}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {p} }}=-\lambda \mathbf {x}$，

其中${\mathcal {L}}=u(\mathbf {x} )-\lambda (\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -w)$为拉格朗日乘数，由其表达式可得$\lambda ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w}}={\frac {\partial v}{\partial w}}$，代入上式即得证。

参见

• 谢泼德引理