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超立方体堆砌

在四维欧几里得几何空间中，超立方体堆砌（Tesseractic Honeycomb）[1]是三种正四维空间堆砌（亦称为填充、镶嵌或蜂巢体）之一，由超立方体堆砌而成。它亦可被看作是五维空间中由无穷多个超立方体胞组成的二胞角为180°的五维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是五维的多胞体。

超立方体堆砌
一个3x3x3x3红蓝棋盘超立方体堆砌的透视投影。|220px]]
类型正四维堆砌
家族立方形堆砌
维度4
对偶多胞形自身对偶
类比立方体堆砌
数学表示法
考克斯特符号
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）		node_1 4 node 3 node 3 node 4 node 
node_1 4 node 3 node 3 node 4 node_1 
nodes split2 node 3 node 4 node_1 
node_1 4 node 4 node 2 node_1 4 node 4 node 
node_1 4 node 4 node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 
node_1 infin node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node 
施莱夫利符号{4,3,3,4}
t0,4{4,3,3,4}
{4,3,31,1}
{4,4}2
{4,3,4}x{∞}
{4,4}x{∞}2
{∞}4
性质
四维胞{4,3,3}
胞{4,3}
面{4}
欧拉示性数0
组成与布局
棱图
8 {4,3}
顶点图
16 {4,3,3}
对称性
考克斯特群, [4,3,3,4]
, [4,3,31,1]
特性
点可递、 边可递、 面可递、 胞可递

超立方体堆砌在施莱夫利符号中，以{4,3,3,4}表示，透过超立方体胞填密4维空间构成[2]。其顶点图是一个正十六胞体，在每单位立方中，每相邻的两个超立方体胞有四个正方形相遇、八个边相遇、顶点则有16个相遇。超立方体堆砌是平面正方形镶嵌的类比、也是三维空间立方体堆砌在四维空间的类比[3]，他们的形式皆为{4,3,...,3,4}[4]，为立方形堆砌家族的一部分，在这个家庭的镶嵌都是自身对偶。

坐标

此蜂巢体（即该堆砌的整体）的顶点皆位于四维空间中的整数点(i,j,k,l)上，对所有的i,j,k,l皆为超立方体边长的整数倍[5]，因此边长为1超立方体堆砌也可以视为四维空间中的座标网格。

结构

超立方体堆砌有许多不同的Wythoff结构。最对称的形式是施莱夫利符号{4,3,3,4}表示正图形，另一种形式是有两种超立方体交替，有如棋盘一般，在施莱夫利符号中用{4,3,31,1}表示。最低的对称性Wythoff结构是在每个顶点附近有16个棱柱形，其施莱夫利符号表示为{∞}4。其可利用截胞（Sterication）来构造。

相关多面体和镶嵌

考克斯特群[4,3,3,4]、         产生了31个排列均匀的镶嵌，21具有独特的对称性和20具有独特的几何形状。扩展超立方体堆砌（也被称为截胞超立方体堆砌）其形状在几何上与超立方体堆砌相同。

扩展
对称群 		扩展
标记 		阶 蜂巢体
（堆砌）
[4,3,3,4]:           ×1

          1,           2,           3,           4,
          5,           6,           7,           8,
          9,           10,           11,           12,
          13

[[4,3,3,4]]       ×2           (1),           (2),           (13),           18
          (6),           19,           20
[(3,3)[1+,4,3,3,4,1+]]
= [(3,3)[31,1,1,1]]
= [3,4,3,3] 		     
=      
=           		×6

          14,           15,           16,           17

参考文献

  1. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  2. ^ Quaternionic modular groups （页面存档备份，存于互联网档案馆） Submitted by C. DavisDedicated to the memory of John B. Wilker [2014-4-27]
  3. ^ Barnes, John. "The Fourth Dimension." Gems of Geometry. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 57-81.
  4. ^ Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  5. ^ Klitzing, Richard. test(tesseractic tetracomb). bendwavy.org. [2014-04-27]. 
  • Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs) - Model 1
  • Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org.  x∞o x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞x x∞o,x∞x x∞x x∞x x∞x, x∞o x∞o x4o4o, x∞o x∞o o4x4o, x∞x x∞o x4o4o, x∞x x∞o o4x4o, x∞o x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4o, x∞x x∞x o4x4o, x∞x x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o *d4x, x∞o o3o3o *d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - test - O1
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