数学中,域 上的双代数是兼具 上之结合代数(具单位元)与余代数的结构,而且这两种结构彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代数

定义

相容性意味着余乘法与余单位元都是单位结合代数的同态,这也等价于乘法及单位元是余代数之同态,因为两者由相同的交换图刻画。

由单位图表的对称性,也可导出下述事实:如果   是双代数,而且   具有良好的对偶空间  (例如当   维度有限时),则   也带有自然的双代数结构。

图表

定义中的相容性由以下交换图给出:

乘法与余乘法相容:

 

乘法与余单位元相容:

 

余乘法与单位元相容:

 

单位元与余单位元相容:

 

在此   是代数乘法,而   是代数之单位元。  是余代数乘法,而   是余代数单位元。  定义为  

式子

若以算式具体描述,则相容关系有如下之表示(在此采用省略   之 Sweedler 记法):

乘法与余乘法相容:

 

乘法与余单位元相容:

 

余乘法与单位元相容:

 

单位元与余单位元相容:

 

在此我们省略代数乘法之映射  ,而直接以两项并置表之。同理,单位元   直接以单位元素   表示(对应到  )。

相关文献

  • Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

参见