项测试

第n项测试（the n-th term test for divergence）是数学上测试无穷级数是否发散的一个方式。

• 若 $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ 或极限不存在，则 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 发散。

许多数学书籍的作者没有为上述的测试方式命名

用途

项测试和其他较强的收敛测试不同，此测试方式只能确认级数是否发散，不能确认级数是否收敛。若不符合此测试的条件，无法判定级数是收敛或是发散。例如：

• 若 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ 则 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 可能收敛也可能发散，此条件下无法用此测试判定级数是否收敛。

调和级数就是不符合此测试的发散条件，却又是发散级数的典型范例。调和级数是以下p级数的特例：

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},$

配合项测试及其他测试，可得到以下的结果：

• 若p ≤ 0，根据项测试可知此级数发散。
• 若0 < p ≤ 1，根据项测试无法判定级数发散或收敛，根据积分判别法可判定此级数发散。
• 若1 < p，根据项测试无法判定级数发散或收敛，根据积分判别法可判定此级数收敛。

证明

要证明此测试法，一般都会证明其逆否命题（contrapositive）形式；

• 若$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收敛，则$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

利用极限证明

若 s_n 是级数的部分和，则上述对数列的假设可推得

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=s$

因此可得

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=s-s=0.$

柯西判别法

级数收敛的假设表示级数可以满足柯西判别法的测试：对任意$\varepsilon >0$均存在一数字N使得

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon$

在所有n > N及p ≥ 1的条件下均成立。令p = 1，即可得到

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

应用范围

项测试最简单的版本可以用在实数的无穷级数中。上述的二个证明也可以在适用在赋范向量空间中。

参考资料

• Brabenec, Robert. Resources for the study of real analysis. MAA. 2005. ISBN 0883857375. 
• Hansen, Vagn Lundsgaard. Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. 2006. ISBN 9812565639. 
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak. Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. 2003. ISBN 0821820508. 
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis 3e. McGraw-Hill. 1976 [1953]. ISBN 0-07-054235-X. 
• Stewart, James. Calculus: Early transcendentals 4e. Brooks/Cole. 1999. ISBN 0-534-36298-2. 
• Șuhubi, Erdoğan S. Functional Analysis. Springer. 2003. ISBN 1402016166.